圓錐曲線這個名詞的由來，可能這時候最好要有實際的教具或是利用電腦輔助教學。 圓錐曲線的由來就是說，因為有一個圓錐， 而且這個圓錐還不能是只有一個口的圓錐，是上和下兩個口對開的這個圓錐， 然後拿一個平面去和它割， 如果這個平面和這個圓錐外面的斜率一樣的傾斜的這個面的話，你就割出來一個截痕， 就是拋物線。如果比較淺一點的，比較平一點的，就割出來一個橢圓。 比較直一點的話，就會跟這個圓錐曲線上面那一半和底下這一半都有交集， 那割來的截痕就是雙曲線。 然後拿橢圓作例子的話， 這個橢圓在圓錐的裡面上方跟下方都各會有一個內切球， 這個球跟這個平面會有交點，這個交點會是什麼東西？ 我猜想，我們不需要在這邊說這麼多啦， 不需要在高中的時代說這麼多，但是可以經過實際的操作告訴同學圓錐曲線名詞的由來， 單種圓錐曲線的準標式，到了雙曲線的話還有含它的漸近線。 那圓錐曲線的光學性質，這一點我們有點希望在 98 正綱的時候， 如果有人看我們寫的報告書的話，我們會希望這個東西拿掉， 因為在數學裡無法證明，卻突然講了一個明明屬於物理的事情， 在高中數學裡面我們不會有時間去證明這些光學性質， 因為它牽扯到切線跟光線的夾角。 在一次會議裡我們和一位寫了物理綱要的赴授談了這件事， 那位教授很樂意，看起來很認真的會想在 98 正綱的時候去談這件事， 他們在高一上學期，在大家都必修的那種物理裡面， 物理課用實驗來說明圓錐曲線光學性質還有它的應用。 你們知道一個故事嘛，阿基米德在西西里島時候希臘城邦受到菲尼基的攻擊， 用拋物面鏡聚集陽光去照射菲尼基的船把它燒起來， 這個禮拜一我在聯合報附的紐約時報英文版裡面看到一個消息， MIT 有一群人懷疑這件事是不是辦得到， 他們就真的去做了拋物面鏡去燒一個船，結果真的燒起來了。 雖然沒有把整個船燒毀，大概那天風太大火燒一燒就沒了， 但是這證明這是一個可能的。西西里島的太陽比波士頓要大一點， 真的有人做了這個實驗，他們最後的推論就跳得很遠，說死光槍是有可能的。
第五章排列組合，那時候突然講到集合元集的基礎， 但是在 95 暫綱裡面，已經把有關所謂集合的所有數學給刪掉了， 那這時候突然講到集合元素的基礎，可能就要用更為直覺的方式， 更述諸於直覺來談集合了。而不能用那一點點的集合論的符號來談集合。 但是高中老師應該也會蠻煩惱的，因為這個地方到底要寫多少集合的符號出來？ 交集、聯集、差集這些東西能不能寫？ 我看其實好像都還是要寫，對不對？ 因為人家講這個加法原理、乘法原理對應的這個事件是聯集還是交集？ 所以我想這個在教書會是蠻麻煩的。 然後排列組合、二項式定理，然後遞迴關係剛才已經先說了， 這裡才出現。然後遞迴關係的形式呢？ 分成一項遞迴跟兩項遞迴來說，兩項遞迴最基本的例子就是費伯納西數列。 遞迴關係可以寫成一個差分方程式，然後解出來遞迴關係的一般解， 這件事情可能在高中應該是不能講的，但是它牽涉不過是一個二次多項式， 如果有時間其實它講起來會很好玩很令人驚訝。 然後第六節到了機率統計(一)分成兩個單元， 一個單元放在必修高二下，另外一個單元放在選修一高三上， 那高二下應該是大家都學過比較淺的機率與統計， 然後在第一章它講到事件與集合的時候，它才來說集合的簡介， 所以過去的教材來說是比較有道理的，在學期一開始就把有關集合的事情先說完， 因為好多地方都要用到。第二節機率性質，當然這邊談的我們都知道是離散機率的性質， 就是總量除以發生量的一種機率，不對，是發生量除以總量。 第三期望值，第四統計資料的來源，這些大概都是嘴巴講講啦， 介紹觀測的方法啦，抽樣實驗的方法啦，在高中應該不可能真的去做什麼。 第五節，分析一維數據，基本上就是做 Frequency Chart， 出現頻率的直方圖，基本上做這種東西。第六節，信賴區間與信心水準的解讀。 這邊我們突然要講到常態分佈的一個連續函數， 然後這個常態分佈還要講它6895、99.5的規律，就是平均值加一個標準差、 兩個標準差、三個標準差，所涵蓋的母體是這個意思， 就是平均值加減一個標準差這個範圍，應該涵蓋母體本身的 68%， 加減兩陪的標準差應該涵蓋母體本身的 95%， 三個標準差就應該涵蓋幾乎全部了。但是六個標準差也沒有涵蓋全部， 它只是99.999...的東西而已，因為這個純數學， 常態分佈是一個 infinite support 的函數， 你加減不管多少個標準差都不可能到 100% 的， 但是這件事情在高中是不可能了解的，他們根本還沒有曲線下面積的觀念， 高二還沒有微積分啊。 那你怎麼說這件事，真是有點奇怪的。 而且機率分佈出來跟之前的離散機率的長條圖是極不一樣的一件事情，你怎麼解釋？ 我個人是不懂啦，我只知道你沒有給我積分式子， 我不知道這件式子我不知道該怎麼去解釋， 這邊可能會變成一種用背的或可能用查表的，查那個正規分佈的表， 可能就會變成這個樣子。
然後實施方法我們就先不要看，大家有一個大觀念， 大家翻過去翻到 333 頁，選修科目是放在三年級上學期的數學一， 剛才的數學一我們也說過，一週只上三節課，數學一是一個大雜燴， 你看就知道了，它沒有一貫的東西， 它可以說這個數學一是三個獨立的單元放在一起。 第一個獨立單元是在必修數學是放不下學不夠的， 機率統計二塞來這裡，所以我說那些學商的、學管理的，學法律的、學生命科學的， 想要將來學生命科學跟化學的那一類的學生，他不能不修數學一， 但他一修數學一他就得後面統統吃，後面第三單元不等式， 這個不等式卻又比較傾向純數學，並不是想要學統計的那些學生想要學的， 你們知道我的意思，他可能只要知道一部分，但他非得全部學不可， 因為這是一個學期的課，要嘛你全選要嘛你全不選。 第一單元的機率與統計二就是要談到獨立事件、條件機率和貝氏定理。
然後期望值和二項分配，二項分配也是多了很多， 二項分配就是為了配合高二下的排列組合，已經學了那個技巧， 才來談這個二項分配。不管是二項分配還是正規分配， 都有一個信心水準和信賴區間的解讀。 然後交叉分析，好像就是要談兩個變數之間的關係， 比如說相關係數，分析二維數據，這邊就是說在分析二維數據時， 要畫一個散佈圖。就是假定這邊有兩個 random variables， 分別採樣到的資料畫在 x、y 軸之上，然後就變成一組跟一組的點， 看它是不是有聚集在一起的情形還是要散開來。 相關係數，我們大概知道這件事，相關係數最重要的是說他們相關， 沒說他們誰是誰的原因，要說誰是原因還有其他的統計要做或者是分析。 迴歸直線，我大概在兩周前上課抱怨過這件事， 有人回來抱怨，寫一題寫了快一個小時， 要算迴歸直線還得要算到小數點下第三位，實在是折磨人阿， 最小平方法不是機率與統計，最小平方法用的和迴歸直線是同一種方法， 在數學上說的是同一種事情，在這裡說也是蠻恰當的， 但是要用手來做，實在是蠻折磨的事情。
然後矩陣呢，我剛剛也說過，就是在解二次聯立方程式的時候， 可以讓它順便出來，但是這裡談的矩陣，好像比這再專業一點， 談到矩陣的加法和係數積、矩陣的乘法，沒有談到除法，沒有要談到矩陣的逆矩陣， 沒有除法就沒有矩陣的逆矩陣去做，矩陣的列運算和增廣矩陣， 其實就是為了要做高斯消去法，就是要把聯立方程式寫成增廣矩陣， 用列運算來做高斯消去法的動作，然後行列式，他前面沒有說矩陣行列式限多大， 但是第四節講行列式的時候，限了二階和三階， 所以在談矩陣的時候或許可以大一點，看編教科書的人怎麼解釋這件事， 但行列式也只準二階跟三階，但是要算四階五階行列式也是痛苦的事情。 但是，行列式的計算規則，可以當作遞迴關係的一個例子。 然後這麼又講到克拉瑪公式，這已重覆，它限二元和三元， 在前面高二的時候已經把二元的給說過了，那現在等於多出來的一點點是三元的， 也是很痛苦的，有四個三階矩陣要算行列式，才能算出三元一次聯立方程式的三個解。 第六點，它就是要講反矩陣，那講了反矩陣，矩陣的除法就可以定義出來了， 然後反矩陣有兩種做法，其實反矩陣就是為了求一些聯立方程式的解， 用列運算求反矩陣，其實二階反矩陣有公式可以做啦， 也可以用克拉瑪的方式去做，不管是列運算還是克拉瑪， 其實我們要了解求反矩陣就是解一系列線性方程式的意思。 然後到了第三單元又完全不一樣了，絕對不等式和條件不等式， 所謂絕對不等式就是永遠對的不等式，就像柯西不等式， 內積小於等於向量長度乘上夾角的餘弦，還有算幾不等式， 這些是一定對的不等式就叫絕對不等式。
條件不等式，就是那些不一定對的有限定範圍的， 在哪些區間才會成立的，或者是你要解出來符合這些不等式的區間， 求不等式解那樣子的問題，就叫做條件不等式。 然後線性規劃限二元，線性規劃也挺累的，你要畫出幾條界的線， 然後把那些邊界線的交點都求出來， 然找找一個頂點去達到極大或是極小值，這是三年級上學期每週三節課的數學一選修。
數學二呢相對於數學一主題就明確許多了，就是微積分， 所以我們可以想像某一些學生只需要數學一的選修，不需要數學二， 那麼將來考指考的時候怎麼分配？ 可能就是今天的二、三類組就要考到數學二， 還沒有講到這件事，我還不知道消息。 數學二很明顯就是微積分了，但是微積分卻又不講太多， 因為我們高中的學生在高中的時候知道的多項式差不多就是二次的， 三角函數和指數函數都學了，但我們不談它的微分和積分， 相對來說日本的九年一貫對應台灣的九年一貫一樣簡化淺化了很多， 學生應該快樂了很多或跟我們一樣痛苦了很多，但是他們的高中是很兇的， 他們高一的時候學三角函數，只講特殊角，只講銳角的，叫三角比。 高二重來一遍，就推廣到我們在高一下學期全部要學完的事情， 日本人也在高中就學完了，但他們分高一學一遍，高二再學第二遍， 他們在學第二遍可以做疊加，可以做和差化積之後， 立刻三角函數的微分和積分公式都出來了。 那這樣做其實還蠻合理的，如果你還記得的話， 我們要證明正弦函數的微分是怎麼來的？ 首先你要知道微分的定義是什麼？用基本定理， 你就知道和差化積的公式是立刻需要應用的， 然後化簡後你有一個重要的事去證明，用圖去講明它們之間的關係， 這是一個極好的應用，我們學了三角函數立刻用在這裡覺得很漂亮， 而且很有用就得到一個這麼漂亮的公式，而且立刻就回答學生為什麼我不要角度， 為什麼我要弧度，只有弧度才能達到這件事，sin(x)/x 的極限是1， 那些事只有能在弧度量，橫軸 x 是在弧度量的時候， 那個 sin(x) 在零的附近才幾乎是45度角，這意思就是說斜率是1嘛。 如果用角度的話 sin(x) 函數是一個很扁的函數， 它要跑到180才半個週期，那這個切線怎麼可能是1， 這個切線是π/180，差不多六十分之一， 所以 sin(x)/x 趨近0的極限就不會是1了， 也就沒有漂亮的公式可以用了，這裡就很清楚了解釋我們為什麼要去做這件事， 我們是非常非常去欣賞日本人在這一件事情上的設計。 然後他們在高三也開始學微積分，因為他們多項式、 指數對數的基本公式全部在高一高二都學了， 高三就學非常類似我們大一上學期的微積分，我們在高三下的微積分只學了一件事， 二次以下多項式的微積分，而且高三要學也來不及了， 你要教人家學二次以下的多項式微積分為什麼不在高二時趕快學， 因為這時候正好對應到物理課在講自由落體，在講拋射物全部都是二次多項式， 在這時候我們提供這個工具，學生在物理上還是數學上都會快樂很多。
數學二，我們就看多項式的極限和導數， 基本上就是我們大一微積分講過的東西只不過它現在把它全部用在一次二次多項式， 338頁就繼續導數和切線斜率的意義，以二項式分解定理去分解得出二項式的導函數， 但是我又不知道它是不是要做到 n 次，但是要做到 n 次也是可以， 因為我們假想學生在二年級已經知道 (x+y)n 是怎麼樣子展開的， 只要知道這樣展開再配合一點極限上面的技巧， 就可以證明 xn 的導函數是 n xn-1， 當 n 是一個正整數。
然後第二單元是導函數的應用，這時候就是函數描繪漸增漸減、臨界點， 那我要問的是反曲點，一定要三次以上的多項式才可以看到反曲點， 但是在整個高中的教材裡面，剛剛我們在看高一高二的時候， 明明沒有看到三次四次多項式，所以在這裡有點奇怪。如果不講三次多項式怎麼談， 第二單元的第三節它就說了三次多項式， 一定要有三次多項式才有反曲點這個例子，要不然是沒有例子可以談的。
函數極限，為了要定義導函數出來一定要介紹函數極限，然後極限的應用。 我想在這邊談的應用大概是極大極小值吧。 微分講完了講積分、黎曼和跟面積，然後要講一切再切很細很細， 這個又是一個純數學家一個堅持和觀點， 為什麼要用黎曼和來講一個積分呢？在高中的階段，我也不敢講一定是這樣， 但是就我的觀點，要是我能作主的話，我絕對不要這樣子講， 我們就用反導函數來講，我們就直接用應用的層面來講， 那麼我還沒有仔細的觀察過日本人在高三時是怎樣的講，我們不能去比較新加坡， 因為新加坡去學微積分是他們所謂的中六已經讀完了， 而那個時期相當於我們台灣的大一了， 他們會認真就像我們大一在學微積分那樣子的學，用那個來比台灣的高三並不太公平， 所以我們應該比的是英國的中六，或者是我們比較公平的是比中國大陸的高三， 或者日本的高三，我不知道他們是怎麼說的， 但你要在這個地方談黎曼和是自找苦吃，學生得不到一個積分的意義， 然後也來不及學到積分有用的地方，這個學期就要結束了， 這也是我們希望將來有機會去改的事情。 不要去談數學的嚴格性了，就說去談曲線下的面積就得了， 然後做幾個例子就把公式拿出來了。
第二節求多項式函數圖形與直線這些東西所圍成的面積， 反正就是做定積分的意思啦。那要做定積分之前當然要介紹反導函數阿， 這時候其實微積分基本定理就該出來了， 但是在綱要上我們沒有明白地說要講還是不要講，在附錄裡才講微積分基本定理， 但是我也覺得這是非常不合邏輯的事情，如果我在附錄裡講微積分基本定理， 那我在正課裡到底要不要講？那我也不可能不講啊， 到底定積分為什麼可以做成這個樣子，極為奇怪的事。
第三節定積分及其應用，求這個球的面積、球的體積， 是要做旋轉還是幹什麼的，只是一塊一塊切下去，變成一個一個的圓的面， 用切片的方式去做的，並沒有做重積分或三重積分，像角錐體也是一樣。 那麼自由落體方程式呢？我剛剛才在說的，是人家物理課高二才要說的事情， 但我所打聽到的他們都講了，他們沒有說為什麼但都講了， 在二次多項式的微積分他們都會講，要不然他們在高二碰到的物理會太麻煩， 而且很多公式會記不住，而且講多很多微積分基本的運算， 那麼公式會很容易就出來，到此為止很快的閃過一遍，95 暫綱會是怎麼樣子呢？ 我們不用特別去比較和現在的綱要有什麼不同， 雖然我在談話中也談過這件事，因為你們都是現在綱要出來的學生， 應該是沒有改過啦，所以你們只要去回想當初學了什麼， 那你就會知道那個差別會是什麼，然後為了要讓你們知道我們這個網路工作有所意義， 我們下一次會拿一份這樣的文件出來， 我們比較詳細地去考察現在的教科書是怎麼去寫的， 比較詳細地列出來現在的高中老師是怎麼去寫的，就像這邊有倍數檢驗， 如果我沒有記錯的話，倍數檢驗我在小學六年級以前就學會了， 但是現在好像高中老師都會教這件事，怎麼要去檢查2、4、8的倍數， 3、9、11的倍數阿，其實還有一個13的倍數， 那個我覺得太複雜了就不想寫，但是因為時間不多，我們就不要再去看那個綱要， 我們今天已經上夠了，把高中綱要已經看過了，可以輕鬆一下，換點別的事情。