三年級下學期理論上也還有一門選修課， 我要說理論上是因為我覺得它就是必修的意思。 那麼數學一很明顯的沒有一個中心，他有三個不同的單元， 但是數學二很明顯的就有一個中心議題，就是微積分。 再高中一年級的時候，我們粗略了進入了極限的領域， 我們學了等差數列、等比數列、等差級數、等比級數， 然後大致上知道了極限，數列的極限或函數的極限這樣的概念。 然後在高二的那一年，停了一年，完全沒有去碰有關數學分析的東西， 那麼高三下學期又接回來，講微積分。 但是台灣的這個新的 95 暫綱的高中數學綱要裡面， 只有一個學期講微積分，所以當然不能太多， 雖然我們在大學的時候也是兩個學期而已， 沒有多多少，但是我們課比較多，在高中只設計給一週三節課， 那我們曉得在大學的微積分一週四節課。 那在高中的時候我們要怎麼樣來介紹微積分呢？ 第一單元的多項式函數的極限與導數， 那第一節是複習一次函數 y = ax + b 這種形式， 然後複習二次函數 y = ax2 + bx + c 這種形式的方程式的函數跟它的圖形， 然後就要引入極限的概念，引入 Δx 直觀說明極限的概念， 那我想這個地方其實不容易直觀， 我覺得要在實際的操作上讓學生看到直觀，我個人覺得，最好的辦法， 就是用 matlab 那個軟體，然後給我一個式子， 然後 run 那個 x = 0.1, 0.01, 0.001，或者這樣跑太快的話， 你就 run 那個 x = 1，然後一半，一半，一半，一半， 就是 0.5, 0.25, 1/8, 1/16，這樣一半一半的下去， 然後代進去看，代進去你就看小數點以下四位， 或者是八位，或者是十五位都可以，你看那個數值的變化， 你會看到它會漸漸的趨近於某一個固定的數值而不再變。 當然在做這種數值實驗的時候，永遠是有危險， 因為電腦永遠不能真正做到無窮小或無窮大。 然後 3-1 引入割線，Δy/Δx 是割線斜率，然後讓 Δx 越來越靠近 0， 你會得到一個切線斜率，這種事情只要對平滑的函數， 你都可以很方便用 matlab 算給大家看，也可以用 matlab 畫圖給大家看。 讓大家明確的看到那個曲線在很小的範圍的裡面，不管那個曲線多彎， 在很小的範圍裡面它一定是一條直線，要不然這個函數就一定不可微。
3-2 說二次函數，複習拋物線的光學性質，為什麼在這邊突然出現這句話， 因為我們需要在拋物線上面找出一條切線， 然後才知道一條光如果入射拋物線的話，它要折到哪裡去，它反到哪裡去。 那個入射跟反射的物理性質那兩個角要一樣，這兩個角是對誰算， 不是對拋物線的曲線算，是對那一點的切線算， 這是阿基米得那個時代就知道的事情。 然後 3-1 開始說明在運動學上的意義，那我們就要說割線其實就是平均速率， 當 Δx 趨近於 0 的那個瞬間呢，我們給它一個名詞叫做瞬間速率。 雖然說我們的語言上，每個人都會講瞬間速率，好像本來就存在的事， 但在數學和物理中，瞬間速率是用平均速率的極限，也就是那個切線斜率， 當在分母的 Δt = t1 - t2 的那個值趨近於 0，定義出來說那個叫做瞬間速率， 因為在物理上，你仔細想想，什麼叫瞬間速率，你其實不能定義， 什麼叫瞬間？你一定要讓那個時間是一個固定的時間，要不然哪裡叫瞬間， 在短的時間都可以繼續切割下去，對不對？數學上說趨近於 0 的意思就是說， 不再切割了，一個固定的時間，但是世界上哪裡有固定的時間， 什麼叫做一個固定的時間，沒有那回事啦！對不對， 更何況在一個固定的時間上面，它根本沒有運動阿！ 你哪裡來的速率，是不是？它不可能有速率，它根本就沒有動， 所以這是一個很弔詭的事情。 所以當我們在口語上說瞬間速率的時候， 好像很多人都會點點頭，曉得你在說什麼。 其實那是因為我們被語言騙了，我們被我們習慣的瞬間這個詞語所騙了， 實際上我們是不能夠定義瞬間速率的，一定要透過極限， 透過極限的這個平均速率，然後分母趨近於 0 的這個平均速率， 我們得到一個極限。好，分母趨近於 0，分子也一定會趨近於 0， 因為，如果時間不動，那個位置一定不會動， 但是有趣的事情就在這裡，當分子跟分母都趨近於 0 的時候， 那個比值不一定會是不存在的，我們都曉得，它常常會存在， 存在的那個值，就是切線斜率，或者說就是導數，這是一個很奇妙的事情。
第一單元的第四小節說導數與切線斜率，這我剛剛都恰好都已經說過了， 然後用二項次定理分解因次求極限，得到多項式的導函數。 這時候突然要脫離二次函數，這個 n 次多項式，xn 的導函數， 就是說導函數是 xn-1，當 n≧１的時候， 這個用二項展開，再用極限，都可以推導的出來。 然後第二單元就到了倒函數的運用， 那無非就是描繪函數圖形，那我們要知道這個函數在哪邊會有臨界點， 就是它會轉彎，它會有一個極大值或是一個極小值， 所謂的轉彎的意思就是說，它會從漸增變成漸減或是從漸減變成漸增， 這個就是畫函數圖形的第一個線索。 第二個線索我們要知道這個函數不管漸增漸減， 就算是漸增它可能是向上彎的漸增，也就是漸增的愈來愈快； 就算是漸增它可能是向下彎的漸增，也就是漸增的愈來愈慢。 那我們需要知道它彎向哪裡，在什麼地方它從彎向上改成彎向下。 而在第一單元裡我們只說了二次多項式，後來在第四小節的時候， 會變成高次一點的多項式，那麼在第二單元為了要談反曲點， 如果只談二項多項式，根本就沒有反曲點可以說。 所以在 3-1 的時候，我們說到了三次多項式， 就是稍微多一點點，讓學生可以看到什麼是反曲點是什麼東西， 還有函數極值的一階二階檢定，就是微分等於０的時候。 我們在高中的時候，不討論不能微分的那種臨界點。 臨界點有兩種，一種是微分等於 0，一種是微分不存在，不可微的點。 那我們不碰那個不可微的點， 所以我們的一階檢定就是臨界點，就是微分是 0， 二階檢定就是它的彎向上還是彎向下。 然後極值的應用，就是一些簡單的文字題，要想辦法列出一個的式子， 這個式子在高中階段一定是三次以下的多項式，然後求一個極大、極小。
第三單元多項式的積分，因為我們前面只學多項式的導函數， 現在只好只學多項式的反導函數。 3-1就是黎曼和的面積，要直觀的說明黎曼和對一再細分的分割所取得極限是面積， 這個對簡單的，譬如說：一次函數、一條直線、跟一個拋物線， 這算是容易說明，特別是一條直線很有趣， 一個直線底下的面積用三角形的公式就算出來了， 你知道那個面積，但是你故意不要算那個面積， 你用一條一條的黎曼和的矩形面積去給它算一個通式出來，這個通式再取得極限， 我想我們在大一很多人都做過這件事，你會得到三角形的面積公式。 但是拋物線沒那麼容易，其實，很早以前阿基米得和牛頓以前的費馬， 他們其實都對於拋物線，事實上費馬已經對 xn 這樣的曲線， 做出了曲線下的面積的積分公式，不過他當時沒有看到這是一個反導函數的樣子， 所以費馬跟巴斯卡都曾經很靠近微積分基本定理， 他們分別知道了微分的公式跟定積分的公式， 但是沒有看出來這是一個一般性的性質， 就是做定積分的時候可以做一個反導函數，做一個導函數的反運算來求到答案， 所以這邊就要有黎曼和的極限。 同樣的第三單元的第一節，我們可以用 maple 設定黎曼和分別等分 4, 8, 16 分， 畫出 4, 8, 16 條這樣的黎曼和，它就會用圖畫給你看，而且會在上面寫出一排數據， 就是這些矩形的和是多少，在數值上你就會看到它漸漸收歛， 在圖畫上你也看到那些矩形，漸漸的越分越細越分，越細的的時候， 就漸漸的跑到曲線的下面，當那個矩形太大的時候， 它就有一些會凸到曲線的上面，但是你可以想像，當那個矩形越來越窄， 很細一條的時候，它就凸出來的越來越小，幾乎就沒有凸出來了。 漸漸的，就讓學生很很直覺的，用視覺方面的直觀， 去看到當這個 partition 越來越窄的時候， 的確這一些矩形就全部會塞在這個曲線的下面， 所以這個曲線下的面積也就可以算出來了。
第二章第二節介紹定積分符號，然後雖然這上面沒有寫微積分基本定理， 在附錄一，附錄一說了微積分基本定理，但是在這邊一定要說微積分基本定理， 要不然定積分這個公式，把定積分這個公式寫出來， 基本上我們就等於說了微積分基本定理，第二形式。 雖然沒有說第一形式，但是我猜想附錄一就要說微積分基本定理的第一形式， 第一形式是什麼，把一個函數先做它的奇函數， 從０或從 a 到 x，對 f(t) 積分，得到一個 F(x)， 則 F(x) 微分以後會是 f(x)， 這叫做第一形式，就是微分是積分的反運算。 第二形式就是定積分的那個公式，這是第二形式， 然後第二形式求多項式，到目前為止我們還是只能做三次多項式， 其實也不一定啦，因為在第一單元的時候， 看來也已經談過 n 次方程式的導函數公式， 然後第三節定積分的應用，用它來計算圓的面積、球的體積、角錐， 還有自由落體，運動方程式， 第二個附錄，用牛頓法求整數開平方根的近似值，就像是求 √2 這個是簡單的公式，一旦我們要求平方根的公式的時候， 就相當於我們要解 f(x) = x2-ｍ = 0，那 f'(x) 就是 2x。 所以牛頓法就是 xn+1 = xn - (xn2 - m)/2xn 然後就可以很快的化簡，xn+1 = xn/2 + m/2xn， 這是一個很好的疊代，而且這個疊代，你可以證明， 只要你放進去的 x0＞0 的話，它就會收歛到正的根號 m， 如果你的 x0 是 ＜0 的話，它就會收斂到負的根號 m， x0 不可以是 0，因為我有一個分母在這裡。 也很有趣的是，如果這邊是加，那你這邊就會變成減， 如果你放進去的第一數 xn 是 i， 它就會收斂到虛數根，因為這一整個計算都是實數的， 所以你必須有一個 irrational value 是虛數，才可以收斂到虛數根， 要不然永遠收斂不到虛數根，所以這個牛頓疊代法， 會是比這個十分逼近法還要來的好。 說到這個，我們又要欺負學生一下，他們在初三的時候被訓練過， 給一個 √2，他們要用十分逼近法，這好像在高一會再做一遍。 他們會要用十分逼近法來逼近 √2 是 1.4142，或者給你一個 √17 它會是４點多少多少。 這個是他們在高中剛上來會做的練習之一， 那現在呢，我們就用這條式子，會知道，這會做的很快很快， 牛頓法會收斂的非常快，你大概做個四項，它就會準到小數第四位，第五位去了。 所以，講到這裡，我們把高中的 95 暫綱瀏覽了一遍。
我今天早上為了要準備一個東西，才學會一件事，加起來九十度的角，互為餘角， 加起來一百八十度的角，互為補角，那英文怎麼講，有沒有人曉得？ 這個我今天早上查了幾分鐘才知道， 餘角是 complement angle，補角是 supplementary angle， 我們看看，這些有關英文的東西，我們一起複習一下。 整數是 integer，但是要小心，不要把它唸錯，其中 g 的發音是ㄐ而不是ㄍ。 prime 本身就可以說是質數，或者說 prime number； 例如 3 is a prime，或者 2 is the only even prime number。 還有 f'(x) 的那一撇也唸做 prime， Even number 是偶數，odd number 是奇數的意思。 相對於質數的合成數是 composite number。 Positive 是正，negative 是負，例如 positive integer 是正整數， negative integer 是負整數。 自然數只不過是正整數的另一個說法，英文是 natural number。
算術的通稱為「算術」是 arithmetics，後面一定有一個 s 的， 通稱的算術，四則運算是這個字。 那數學當然比算術要高級很多，那是另外一個字 mathematics。 我剛回來中大的時候，那一屆的學生做了系服， 就在他們的背後，寫了很大的一個錯字，他寫了 mathematic 沒有加 s， 這個是好像我們台灣的同學經常漏掉的事情。
那四則運算之加減乘除四個算法分別是 (名詞)： addition (加法), subtraction (減法), multiplication (乘法) 和 division (除法) 或者 (動詞)：add, subtract, multiply, divide。 + 號是 plus sign， - 號是 minus sign， × 號是 cross sign， ÷ 號是 division sign， 要注意英文說法的習慣順序，跟中文有些不同，舉例如下。
兩個正整數互質，它們是 relatively prime，此處的 prime 當形容詞用。 例如 12 and 25 are relatively prime。 但是有三個數，如果是兩兩戶質的話，你要強調這件事， 這三個數兩兩戶質的話，那是 pairwise relatively prime， 如果只這三個（或更多）數互質，卻不是兩兩互質 (pairwise relatively prime)， 稱為 mutually relatively prime， 譬如說 30, 35 and 42 are mutually relatively prime, but they are not pairwise relatively prime。
倍數是 multiple，這是從 multiply (乘積) 變化來的。 公倍數是 common multiple，而最小公倍數就是 least common multiple， 簡寫為 LCM 或 lcm。
輾轉相除法沒有對應的英文，輾轉相除是中國話傳統傳下來的這幾個字， 所以不要設法把它翻成英文。 在英文就是 Euclidean algorithm，歐幾里德演算法。 《幾何原本》(Elements) 裡的第 7 卷，那在這裡一小段話在這跟同學說， 幾何原本其實它是一個不好的翻譯， 這是當年徐光啟跟俐瑪竇翻譯 Elements 的時候，只翻譯了前面的那一半， 那一半恰好全是幾何，所以叫它幾何原本， 那中間有一段其實不是講幾何，是講多項式，講方程式，講數論，這些東西， 這像這個所謂的輾轉相除法，顯然不是幾何，它是數論， 它就放在第 7 卷的第一個命題。