數學科教材教法

課程整理與統整

張志翔紀錄

這門課是數學科的教材教法，這們課是為這些數學系畢業將來要從事數學教育的我們所開設的課程，而最主要的目的是訓練我們如何成為一個優秀的教師。在本學期數學科教材教法內容方面大致可以分兩個方向，第一部分可以說都是討論在數學課程綱要與九年一貫，第二部分為介紹現行中學數學教科書的每一單元。

第一部分

在課程一開始第一堂課(94.9.14)

老師首先談到了數學課程綱要的修定簡史與數學學會參與九年一貫教改的工作，在數學課程綱要部分民國92年成立了綱要修訂小組，分四個部分進行，其中老師是負責教科書的審查工作，再來為了銜接九年一貫課程綱要，教育部於94年二月公布了『95學年度高中數學佔行綱要』並於95學年開始實施並實施三年。再來數學學會參與九年一貫教改的工作方面，在這部分首先談到的就是課程銜接的問題，在數學方面除了日本以外，我們1~9年級跟各國比起來都太過於簡單，但是日本在高中後有適度的銜接方案，而台灣沒有因此李瑩英教授與陳健隆和林慧雯教授一起負責這部分的銜接。而推廣工作是由鄭國順教授領導配合各地區的老師，桃園部分是于振華老師負責，配合一個禮拜一次的研討會說服現場各老師，為什麼綱要需要修改。最後就是編寫部邊本的問題了，在這方面老師談到林長壽教授希望可以恢復部編本，因為部編本會有一個難度的下介，再來部編本一定比較便宜可以這故弱勢。

第二堂課(94.9.21)

在這堂課老師主要談到了老師的教學網站還有從基本理念到終身學習。在基本理念方面教育之目的以培養人民健全人格、民主素養、法治觀念、人文涵養、強健體魄及思考、判斷與創造能力，使其成為具有國家意識與國際視野之現代國民。本質上，教育是開展學生潛能、培養學生適應與改善生活環境的學習歷程。因此，跨世紀的九年一貫新課程應該培養具備人本情懷、統整能力、民主素養、鄉土與國際意識，以及能進行終身學習之健全國民。基本內涵至少包括：人本情懷方面、統整能力方面、民主素養方面、鄉土與國際意識方面。而在人本情懷方面老師最要我們懂得就是尊重與欣賞他人及不同文化。最後再終身學習這方面，老師先談到了英國發教育卷的做法，還有類似我們社區大學的open university，老師也談到了教師更是需要終身學習的族群，最後為了將來的終身學習現在我們需要學「核心知識」。「核心知識」已被證實或是已經被大眾所承認，就是語言、語言和語言：自然語言、數學語言及程序化操作語言。

第三堂課(94.9.28)

第三堂課要談的是九年一貫國民教育希望培養國民的十項基本能力與數學學習領域綱要。在前半段老師從中型大學的泡沫化談到了數學系學生欠缺的能力九年一貫教改希望學生培養10項基本的能力，其中第四點是表達、溝通與分享，而在數學的領域裡面也特別強調了溝通與表達，以後的事業愈來愈沒辦法靠單打獨鬥來完成，先從全球性的企業合併大的公司更大，小的公司更小，中間的就漸漸的沒有了這個觀點來回顧台灣國內目前的教育市場，一些中間的大學是令人擔憂的這也是目前中字備大學努力的方向。不然好的學校只會更好、不好的還是不好那些中間的就漸漸的消失不見了。再來是數學系學生欠缺的能力，在這裡老師談到了數學系學生最欠缺的就是表達溝通的能力另外還有就是閱讀的能力，老師也引用了電影『全民情聖』裡一句經典的對白來表達此現象，「當你說話的時候，有百分之六十的意義是你的表情和手勢傳達出去，有百分之三十的意義是你的腔調傳達出去的，只有百分之十是你選擇的字彙」。所以這也就是為什麼當我們用書面在表達事情時必須特別小心，很容易因為意思不清引起誤解，這些都是數學系同學們應該要注意的事。再來談到的是數學學習領域綱要的部分,在這部分提到了數學隻所以會被納入國民教育的基礎課程有三個原因；第一數學是人類重要的資產之一第二數學是一種語言第三數學是人類天賦本能的延伸。

第四堂課(94.10.5)

這堂課談的單元有三數學是國民教育基礎科目的原因、數學與科學、和新綱要的理念數學是一種語言：這部分是接著上禮拜的內容，首先老師談到了學習數學語言的新策略，就是像中國的中庸之道，前提是你要知道所謂最好與最壞的程度大概在哪裡，這樣你才可以去取它的中間值來看，這是數學思維的一個特色。後來還談了些數學與英文所扮演的角色與數學老師該省思的問題。在數學與英文的角色裡，國外很自然的就能分辨one.two…與first.second….是不一樣的，但是我們大部分的小孩是不需要把他弄清楚的，而可以很自然的分清楚兩個概念的不同，這是老師提到的數學是一種語言第二種的闡述。數學與科學：再這裡老師給數學是一種語言下了第三種的闡述、數學與自然與一樣，語言本身都是不真實的，而語言跟真實之間是需要人的理解來做連結的，他並不是1-1的對應到真實世界裡的一個東西去。再來進入到真實與投影，這裡提到數學本身並不是真實的，很多東西都不能直接映射到物質上面去，老師在此說明了投影的概念，並已星際大戰電影來做比喻，人類在這個世界裡，沒辦法分辨這個投影與真實的東西有何差異，除非跳脫出這個空間來看。新綱要的想法：在這裡老師拿了很多部電影來做比喻有臥虎藏龍有大漠英雄傳有全民情聖還有功夫，但是最主要的目的是要告訴學生，真的知識也不一定在老師身上，真的知識在你自己身上、在團隊身上。

第五堂課(94.10.12)

這堂課的單元有三數學教學旨在協助學童數學智能的發展：在這裡首先先談到的是素質指標，當然這是抽象且不容易定義的，以我國數學科來說，我們強調的是概念和精熟的演算能力，西方人20年前強調的並不是如此，可是這20年來他們覺得在小時後強調理解和抽象能力是沒有意義的，英國也在1996年提出一大方針「numeracy」，強調的是對數字的能讀會寫的能力。在能力主軸老師提到就是能夠把非常困難而複雜的概念形式化，這正是數學之所以偉大的地方。國中階段數學綱要概述：在這裡談到了國民中學數學新綱要的想法；最主要的是讓學生有階段性帶著走的能力，好比國小已知小數的觀念，但未涵蓋到循環小數與無線小數等，但在此時已經有小數的觀念了。在來在國中數學能力分以下六個階段1、對於數的四則運算能力2、經由代數式的建構與演算能力將所學習的代數能力應用於其他主題數學的推導 3、經由簡單的平面圖形性質學習來建立抽象思考的推理能力4、經由簡單的資料分類整理與觀察建立基本的統計與機率素養 5、文字符號代表數的特殊意義6、代數式的列式與計算了解如何解決應用問題。最後這堂課談到了國中數學能力指標：在幾何方面，綱要又重新加入了簡單的尺規作圖，但是重點我們並不是要得到結果，而是推論的過程是一個演繹、思維的過程跟嚴謹性。機率統計方面沿用百分位置來介紹中位數，進而增加推廣到四分位數，在這裡老師提到了新加坡在初一上資料處理的課程時利用電腦軟體作大量真實的統計計算，直接用真實的情境來收集資料那麼國中所學的長條圖圓餅圖就出來了。利用在真實情狀下學習資料整理、分類、預測，到高中所學的成立假設，然後設計實驗來支援或推翻你的假設。最後老師再次的用電影來勉勵學生要讀書、要上課、要主動。

第六堂課(94.10.19)

在這六堂課裡開始談到了18歲的能力指標還有數學有什麼用另外還有就是國小教科書編寫風格和國中數學教材的探討在18歲的能力指標方面：目前教育部正在進行「中小學學生能力與課程規劃工作圈的實施草案」計畫，其中在數學科要明確指出12、15、18歲時應具有的基本能力。在數學科領域中是由台大的陳宜良教授來負責，而單維彰老師也曾只在9/27到10/5極為短的時間內就完成一個初步的構想，中央大學學習教育研究所所長柯華葳教授在更早時就已針對全台12、15、18歲學童進行普遍性認知訪查。以18歲學童為例將能力分為生活能力、學習與學科能力兩大指標。再第一節課後半段老師還提到了很多人都會問的問題就是『學數學有什麼用』，這是很多人都提出的質疑因為在日常商活上只需會加減法就夠用了，根本連數學乘法不不用，那麼學數學有什麼用呢，老師在此也以兩個方面來做回應一個是探討對象的是誰的問題第二點老師說任何科學和生活都沒有太大的關西，但是它門重點是在支撐整個文明老師更以日常生活常聽的mp3談到傅力葉轉換來說明。國小教科書編寫風格：在上一堂課老師已經談到對教科書的看法在這邊老師覺得高中的教科書比較像是個教科書，而小學的則比較戲劇化因為比較受到教育學派的影響。老師隨便拿了一本某版本的一年及第二測的數學教科書來談到數學教育家和數學家看法不同的地方。這裡拿出了裡面的一些問題來看有從1數到50有摘星星的問題但是這裡都有一個問題在就是課本只是拿出問題，提出活動，並沒有告訴你答案。這個時候的問題就要丟給現場老師了，可市現場老師如果沒有接受過教材教法的訓練那他要怎麼教呢。國中數學教材的探討：在國中談到等式不等式和方程式漸進的關西，在這裡老師主要是強調了所謂第一、二、三、四象限是不包含X軸和Y軸的也就是說第一現象指的是(X>0、Y>0)。再來談到了一些錯誤例子的引用，這裡很多國中的老師在講到座標時會引入一些不恰當的觀念，比如用置物櫃的觀念來引用，置物櫃的觀念是矩陣，他是一個位置一個區域的，但是在數線上他是一個點一個位置但不是一個區域。還有置物櫃的數法是橫的1234向下1234，但是我沒的直角座標系統上面是向右1234向上1234，這是不一樣的事情。

第七堂課(94.10.26)

在這一堂課裡主要都是在談高中95暫綱數學的部分、還有高中一上到二上和二下綱要課程的介紹高中95暫綱數學部份：首先從95年以後高一第一冊第一節的單元原來的邏輯與集合被拿掉了，變成是數學從整數開始說起這裡比較特別的部分是輾轉相除法在來開始提到了有理數和無理數，因為國中學的都只有分數的概念，再來提到有理數的個數跟正整數的個數是一樣多的，也就是可數的無窮多還提到了代數數與超越數的觀念。皆者介紹的是平面座標係，這包含了直線的方程式與國中沒有提到的斜率的觀念，最後講到了複數，高斯認為三次多項式就必須要有三個跟，這是代數基本定理，而高斯也是第一個定義i的人，複數的地位就在那時被定義了下來。這裡老師還提到了數學課程編排的問題，像物理有的時候就已經先行用到向量的觀念了，還有我們的機率統計太晚才教，但是事實上已經很早就碰到這個問題了，這些都是可以在提出來在改進的。在數列與級數單元以前國中還有教等級數列和等級級數，但是九年一貫綱要已經把國中這部分給拿掉了，所以95綱要以後學到這段會先複習之前的觀念，接下來老師把高中課程每一個單元都介紹了一遍。

第八堂課(94.11.2)

這堂課老師介紹了台灣與日本數學課程綱要的比較在正整數與負數的部分台灣與日本並沒有太大的差別，但是在介紹分數時日本是到了5年級才開始介紹而台灣因為學者堅持的關西較長的時間來學習分數所以再2年級的時候就開始介紹了。在小數部分台灣3年級開始學小數日本是4年級開始而台灣在10年級介紹無窮循環小數與有理數的等價，日本在12年級介紹了無窮等比級數。在實數方面在1年級同時介紹十進位計數系統，而台灣3年級介紹十進位計數系統的小數部分日本是4年級。在這個單元上可以參考單老師的網頁裡面有詳細的介紹與分類。

第二部分

在第二部分裡老師開始對我們講解現行高中數學科教材裡的每一個單元與介紹

第一冊第一章

首先談到的是『數論與平面座標係』：第一節「數論」裡整數的單元我們該要學會質因數判別法、質因式分解法、因數與倍數的判斷、輾轉相除法原理與同餘性質、最大公因數與最小公倍數。第二節「有理數與實數」裡談到了尺規作圖、分點公式、無理數的證明(當然這牽扯到了反正法也就是跟邏輯概念有關，不過95綱要後邏輯與集合被刪除了)、無理數的性質(雙根號化簡的問題( 第三節「平面座標系」在這裡首先引進了國中沒談到國的斜率的觀念，利用斜率來求直線，這個單元包括了斜率、斜率大小、直線方程式、直線平行和垂直的假設、圖形交點、截距、投影與對稱、三角形四心問題，其中四心的問題對現在學子來說是個很頭痛的問題第四節「複數與複數平面」這裡首先談到存在需要的問題，高斯認為三次多項一定就有三個根，n次多項式就要有n個根，因為要滿足代數基本定理，所以高斯首先的引用了複數i的觀念來解決虛根的問題，這部分提到了有複數的四則運算、複數的一些性質、雙根號的判斷、方程式根與係數、等單元

第一冊第二章『數列與級數』

第一節「數列與級數」這裡談到的單元有等差數列、等差級數、等比數列、等比級數、差比混合數列、級數運算、級數公式、歸納級數與堆朵的問題、相消級數等。第二節「無窮等比級數」，在這裡因為要談到無窮等級級數與循環小數的問題，所以要有極限的觀念，再這裡也才對實數與有理數做了一個完結在這單元裡有收斂與發散、無窮等比相消級數、循環小數、無窮等比級數應用、極限等。第三節『數學歸納法』證明方法除了直接正法、反正法在這裡又多了另外一種證明的方法數學歸納法，在舊的綱要理會有遞迴數列，不過在95綱要以後遞迴數列被拿到了排列組合的單元去了。在這裡主要都是討論在等式證明、倍數證明、不等式證明方面

第一冊第三章『多項式』

第一節「多項式的四則運算」這裡包含了多項式的定義、多項式的次數運算、多項式的係數運算、基本商餘關係、多項式的除法(綜合除法與長除法)。第二節「餘式定理與因式定理」包含餘式定理與因式定理、餘式假設法、利用餘式反求多項式、多項式恆等定理、一次因式檢驗法(牛頓定理)。第三節「最高公因式與最低公倍式」包含了因式分解法、輾轉相除法(老師希望98正綱可以刪除這部分)、去首去尾法。第四節「多項函數」包括了判斷二次函數與交點、二次函數、圖形的平移、二次函數極直。第五節「多項不等式」包括二次不等式問題、恆正恆負問題、高次不等式、分式不等式、根式不等式、絕對直不等式

第二冊第一章『指數與對數』

在這個單元裡指數與對數互為反函數，但因為95綱要後已把反函數給拿掉，所以老師在講這單元盡量避免去講滿函數而多以反運算來解釋，另外第五節的查表根內V法台灣是所有考察國家中唯一要求學生要學查表的。第一節「指數」包含了指數律、指數方程式、指數方成根與係數、指數極值第二節「指數函數及其圖形」包含了指數函數、指數絕對值函數、指數圖形交點、指數不等式、指數函數的凹凸性、還有超越函數第三節「對數」有對數律、對數有意義、對數方程式、對數方程式根語係數、對數極值第四節「對數函數極其圖形」保含了對數函數、對數絕對值函數、對數圖形交點、對數不等式、對數函數的凹凸性、比較大小第五節「查表與內V」包括了指數內插法、對數內插法、對數表、首尾數

第二冊第二章『三角函數的基本概念』

這裡開始介紹三角函數的基本概念，第一節講到銳角的三角函數，這部份是國中完全沒提過的。學生要懂這六個函數之間的邊角關係，之後學到負的角度、弧度、圓上的點，正弦和餘弦定理，廣義角的三角函數。第一節「銳角的三角函數」包含了三角函數的定義、特別角的三角函數、第二節「三角函數的基本關係」包含了倒數關係、平方關係、商數關係、互餘理論等第三節「三角函數的簡易測量」首先要先知道仰角和俯角、方位的判斷、一些水平測量、鉛直測量、立體測量第四節「廣義角的三角函數」這裡要先知道什麼是參考角、還有何謂象限角、六大三角函數在各現象正負的問題、何為同界角、XY軸轉化法等第五節「正弦定理與餘弦定理」包含了正弦定律、投影定理、餘弦定理、三角型面積公式(配合內接圓半徑r與外接圓半徑R)、海龍公式

第二冊第三章『三角函數的性質與應用』

這是三角函數的第二部分談到了三角函數的圖形，和角、半角、倍角公式，正餘弦函數的疊合，三倍角部份刪掉了。最後就應用在複數的極式，棣美弗定理，並介紹三角函數的周期。第一節「三角函數的圖形」包括了弧度、幾何圖形的面積、扇型周長與面積不等式、圓錐與圓柱、三角函數的圖形、週期分析等第二節「和角公式」之後幾節的三角函數公式其實都是從COS( )這個公式開始的第三節「倍角公式與半角公式」包含了被角公式、倍角降次的應用、半角公式(可以用倍角公式來看) 第四節「和差化積」包含了和差化積公式、積化和差公式、三角形三內角配合和差化積等問題第五節「正餘弦函數之疊合」這裡建立了正弦餘弦=新的正弦(或新的餘弦)的觀念第六節「複數的極式」從平面座標戲裡介紹複數的標準式導入到複數另一種形式極式的觀念、轉換極試問題、隸美弗定理、方根的應用等

第三冊第一章『平面向量』

一開始是學到向量，加減法、內積等運算，向量的基本應用。第三節才引進坐標平面，讓向量變成有數值的意義，並再度學到直線方程式。第四節學到平面向量的內積，含柯西不等式、正射影，兩直線的夾角和點到直線的距離以及對稱點的坐標。第一節「有向線段與向量」包含了向量的表示法、向量的類別、方向角、向量的加法、平行與係數積第二節「向量的基本應用」包含了分點公式、分點公式與重心、分點公式與內心、共線理論第三節「向量的內積」包含了內積的定義、向量的夾角、向量的平行和垂直、向量與重心外心垂心、向量與內積、投影與正射影、科西不等式、距離公式、交角平分線等

第三冊第二章『空間與直線的概念』

這裡學到的是空間中概念，直線、平面和之間的關係。第三節空間向量的表示法，將二維的東西提升到三維全部再學一次。第四節學三元一次的多項式，之後再學到平面方程式，法向量、平面的夾角、點到面的距離、參數式、兩面式和對稱比例式。第一節「空間基本概念」包含了空間的幾何圖形、三垂線定裡、空間平面的性質、兩面角、正四面體問題第二節「空間座標系」這裡定義了右手系和左手系第三節「空間中的向量」包含了向量的表示法、方向角、平行與係數積、向量的平行與垂直、面積公式、向量正射影、公垂向量第四節「空間中的平面」包含了平面方程式、距離、對稱與垂足、點面問題、三點問題、平行面問題、夾角問題等第五節「空間中的直線」包含了直線表示法、直線式轉換、平面表示法、平面系分析、空間極直

第三冊第三章『一次方程組』

這裡介紹的是一次方程組，含高斯消去法，提到克拉瑪公式，但是卻沒有提到矩陣，老師並希望在九八正綱可以修正這件事。第一節「一次方程組與矩陣列運算」包含了二元一次方程組、三元一次方程組、三線共點、高斯消去法、矩陣列運算第二節「行列式」了解二階與三階行列式的運算、運算的法則包括了任兩行或兩列互換其值變號、某一行(或列)為0其值為0、某兩行(或列)成比例其值為0、行列式的轉置(行列互換)其值不變、某列或(行)有公因式可以提出、某列或(行)xK加另一列或(行)其值不變、在來談到了行列式的降皆法則(尤其在處理4皆以上的行列式)、最後談到了行列式的幾何意義與三度空間的面積公式與體積公式第三節「克拉瑪公式」包含了三元一次方程組的克拉瑪公式、三平面交會的情形(有八種)、三平面交會探討解與主行列式的性質等

第三冊第四章『圓與球』

第三冊的最後一章要講的實圓與球，事實上在圓這個部分已經是進入到了二元二次多項式了第一節「圓的方程式」包含了圓的標準式、圓的一般式、圓的直徑式、圓系、圓切線段問題、圓的參數式與軌跡第二節「圓與直線的關西」包含了點與圓的關係、圓與直線的關係、圓切線段問題、圓的極值、圓上一點求切線、線外一點求切線、等第三節「球面方程式第四節「球與平面的關係」包含了球和平面的一些關西、球與直線的關西(相切、相割問題等)

第四冊第一章『圓錐曲線』

圓錐曲線的由來就是說，有一個圓錐，而且這個圓錐還不能是只有一個口的圓錐，是上和下兩個口對開的這個圓錐，然後拿一個平面去和它割，用不同的方式去割會割不同的截痕出來第一節「圓錐曲線的節痕」分為圓系列、橢圓系列、拋物線系列、雙曲線系系列第二節「拋物線」這裡談到的有拋物線的定義、拋物線的焦準式、標準式、特殊拋物線(拋物線共焦共軸問題)、拋物線的軌跡、拋物線極值第三節「橢圓」包含了橢圓的兩焦式、橢圓的標準式、特殊橢圓(橢圓共焦問題)、橢圓軌跡第四節「雙曲線」雙曲線的兩焦式、雙曲線的標準式、特殊雙曲線、雙曲線軌跡、漸進線問題第五節「圓錐曲線與直線」包含了圓錐曲線弦長、已知切點求切線、已知斜率求切線、線外一點求切線、圓錐曲線參數式、圓錐曲線的光學性質(這部分希望在98正綱的時候刪掉)

第四冊第二章『排列組合』

在這張突然講到集合元集的基礎，但是在95暫綱裡面，已經把有關所謂集合的所有數學給刪掉了，那這時候突然講到集合元素的基礎，可能就要用更為直覺的方式，更述諸於直覺來談集合了。而不能用那一點點的集合論的符號來談集合，所以看起來以前的教材似乎是比較有調理的第一節「乘法原理」此節包含了乘法原理與加法原理、付款與兌款的問題、還有數形圖第二節「排容原理」包含了交集與連集、狄莫根反扣法、巴斯卡限制排列等問題第三節「排列」有不重複排列、排列巴斯卡、相鄰與不相鄰分析、不完全相異物直線排列、走捷徑問題、順序不變問題、同字不相鄰分析、重複排列、一筆劃問題、環狀排列、項圈排列、圖色分析等多種問題第四節「組合」包含了不重複組合、分堆分配問題、重複組合、整數解問題、重排重組混合問題等第五節「二項式定理」這裡有二項式定理與應用、級數搭配二項式定理的分析等

第四冊第三章『機率與統計』

這裡式高二下的最後一個單元了，這裡仍然跟集合息息相關，在過去在學期一開始就把有關集合的事情先說完，因為好多地方都要用到，95暫綱刪除了之後現在突然又要講到這，這樣的編排真的是有點怪第一節「樣本空間與事件」介紹了隨機試驗、樣本空間、樣本、事件、空事件、全事件、和事件、積事件、餘事件、互斥事件、獨立事件、狄莫跟反扣法，基本上都是集合的觀念第二節「古典機率」這裡可以出的題形很多如直觀古典機率、撲克牌古典機率、取球古典機率、錯排古典機率、分堆分配古典機率、硬幣古典機率、骰子古典機率等第三節「數學期望值」介紹了期望值的概念與期望值的意義包含了取球期望值、硬幣期望值、不良品期望值、骰子期望值、獎卷期望值、保險期望值、分配獎金、賭局公平性等第四節「統計抽樣」抽樣方法的種類有四種簡單隨機抽樣、系統抽樣、分層隨機抽樣、部落抽樣第五節「資料整理與統計圖表」包括了教你製作次數分配表的方法1求全距、2定組數、3定組距、4定組限、 5歸類畫記、6計算次數，還有以上(以下)累積次數曲線圖的畫法第六節「中央趨勢」包括了算數平均數、加權平均數、中位數、眾數等觀念第七節「差異數」包含了四分位差、標準差、標準差特性、變異係數、標準值分析等

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