數學Ⅲ
第一單元、三角
總論
由圓經由極座標可以切入三角的課題，這裡是指三角剛開始需要直角三角形，從直角三角形定義正弦、餘弦、正弦，這些名詞的關係，進一步導出基本的性質，例如：sin x 跟 cos x 是互為餘角、tan x = 1 / cos x 、平方關係。現在的三角課程應該不會講 cot、sec、sec三角函數，在沒有這三個三角函數的情況下，你們平常喜歡畫的六邊形的關係就可以省略，所以1 + tan^2( x ) ＝ sec^2(x)，這樣的等式就不會出現，也就只剩下 sin^2( x ) + cos^2(x )＝1，而我們在做微積分習題的時候也是這種情況，但至少我在教微積分時，六個三角函數還是都會講，因為 tan x 的微分 = sec^2( x)，需要 sec 的三角函數。而 sec 的微分還可以寫成 cos x 分之一，然後再利用微分的除法律得到 sin(x) / cos^2(x) ，加上 sec(x) = 1/sin(x) 、 tan x = sin x / cos x，推導出sec的微分是 sec(x) * tan(x)，所以 sec 教與不教，這問題就有點麻煩，因為 tan x 的微分公式中就必需有 sec x。
而這裡說，由圓經由極座標可以導入三角課題，其實這句話說的太快了，在一開始還是要在直角三角形上定義兩個邊，三角形上某兩個邊的比，做為一個三角函數，然後推導出一些基本性質、相互的關係，不免也要看出來 sin^2(x) + cos^2(x) = 1 ，因此會落在單位圓上。這個時候三角函數的θ，它是大於零、小於九十度的，零度和九十度都是不成立的，因為當θ是九十度或零度的時候，都不會是一個直角三角形，但即使在這樣也可以看出來它們的範圍是在第一象限除了X軸及Y軸上面之外的圓周，藉此將極座標的意思帶出來。極座標就是把原點的距離和X軸的夾角描述出來，而這夾角是具有方向性的，然後極座標rθ要如何轉換成X Y的點呢？我們可以在這時候和三角函數拉上關係，可是就只有在第一象限拉上關係，而且第一象限不包括X和Y軸，我們可以將極座標 r θ 換成 x = r*cosθ 和 y = r*sinθ，接下來就要看教科書和老師如何處理其他象限的問題。
我自己的經驗是賴皮的說，其他三個象限就把它推廣，把二、三、四象限定義成跟第一象限這樣。如此一來，一個圓周、零度、九十度都可以了，畫一個單位圓，圓周上面的單位圓就是 X = r*cosθ 和 Y = r*sinθ 。我想這樣的定義並不是唯一的說法，而且我相信這是不好的說法，只是我的小孩都是可以接受的，但不知道其他的小孩子是否可以接受，就這樣其他三個象限就照抄了，因此圓周上的點是 cosθ、sinθ，然後再說，比如：在第二象限有一個超過九十度的角，不到一百八十度，根據圓在四個象限對稱的性質，把角對稱回第一象限，再決定這些不是銳角的角，那些三角函數值是如何計算出來的，因此由極座標的角度，廣義角可以定義在正負360度之內。
在上次談到的和角公式、倍角公式、三倍角公式中，我想這些角度難免會超過一圈，但怎麼辦呢？在第三冊中不打算將角度超過一圈，但我覺得超過一圈也沒什麼，只是告訴他們可以換回來就對了。這方面，雖然綱要沒有嚴格說不行，因此寫教科書的人是有彈性可以寫的，所以老師們重點是在正負360度，事實上兩百七十度，負的兩百七十度，會發現到沒必要，其實說正負九十度就可以了，所以廣義角只要理解到轉一圈就會還原到原本的角度，因此在正負180度以內來談角度就可以了。因此接下來說到，由此觀點，180度加減θ的三角函數求值問題在此處是需要的，但在課堂上或是教科書上不需要出270 度加減θ的問題，我想這應該是在規範寫教科書和出題目的人吧！而其求值問題則留到和角公式（數學Ⅲ,4.2）時才處理。三角測量含立體測量，但應注意測量的可行性與實用性。
廣義角與極座標
由極座標的實用角度來看，r是大於零，小餘無窮大，廣義角則是在正負360度，超過正負360度廣義角的概念，放在第五冊說到弧度的觀念時再去學習。在這裡，重點放在三角含數的週期性。
直角三角形的邊角關係（正弦、餘弦、正切）
只談到正弦、餘弦、正切的定義及正餘弦的平方、餘角關係，就是θ的正弦是θ餘角的餘弦關係。接下來是正弦、餘弦、正切的關係，這時候角度已經超過了九十度，因此這件事情最好畫張圖來看，一直到現在為止我也必需在腦中想著那個圖來做計算，而沒辦法一看到度數就直接做加減運算，這也就是圓的對稱的關係。直角座標及極座標的變換，也就是r θ可以換成r cosθ 和r sinθ。
三角測量
查表或使用計算器，在這裡特別註明查表不處理線性插值的問題，也就是說以後出題要出的很恰好，所以出題的三角函數，要在三角函數表裡會有，因為查表已經很落伍了，因此拿了查表還要做插值實在是太落伍了，也實在是太辛苦了。這以後基本上也不會用到，你會說如果有人帶計算機，但計算機沒電了怎麼辦，我想到一個很調皮的答案是說，一個人帶計算機，你也不會帶三角函數表，誰會沒帶計算機，帶了三角函數表，我相信這種時後也只有一個辦法，就是用泰勒展開式把他展開取到第三項我想就夠了。
數學Ⅲ
第二單元、平面向量：
三角函數
待學生透過座標幾何熟悉向量的基本操作後，再抽離座標系以向量形式操作談向量的應用，比如三角形兩邊中點連線定理、平行四邊形定理的證明。在這兩個證明中是不需要有座標的，但也是可以有座標，我相信它的意思是在有座標的情況下，向量可以寫成有序對，例如：(x,y)，這樣的形式，如此一來就變成代數上的操作，對可能比較熟習代數的台灣學生而言會比較容易入手，在拿掉座標單純只有向量，然後畫向量的箭頭表示，做一些向量操作，但整個平面向量表示法，其實跟我們在前一個單元有很密切的關係。
平面向量的幾何表示法、含向量的加法、減法、係數積運算、線性組合，平面向量的座標表示法。在講線性組合時，還沒提到平面向量座標表法，這是想到說讓學生瞭解到畫一條向量，它的二分之一倍是同方向，但長度短了一倍；它的兩倍就是把這條向量拉長了一倍。而剛剛所說的，待學生透過座標幾何熟悉向量的基本操作後，抽離座標係以向量形式操作談平面向量的應用，其實這裡有點類似迂迴前進的感覺，第二單元的一開始，在沒有座標的情況下，先講向量的加減、系數積運算，用箭頭代表什麼意思，再套入座標，讓學生瞭解一個概念，向量是沒有座標的，以前我在學的時候，老師就會說只要方向跟長度沒變，這個向量在座標上移來移去都可以。而我現在也有一個說法，那就是在第一冊的時候就要跟同學們說，幾何這東西是不需要座標的，而到向量的這章節也可以重溫這樣的想法，然後引進序對，在代數的層次，可以帶入加減法，而分點公式也是代數可以做的應用。
平面上直線參數式，用向量的寫法是X向量加上t倍的B向量，而X是直線通過某點的意思，現在回想我自己的小孩，我察覺他們最困難的問題是突然這代表點，一會兒代表向量，我想者是需要熟悉的。這時候需要把平面參數式的概念給說清楚，因為在空間中就沒有簡單的寫法，沒有一個簡單的直線方程式，一定要寫成b1 / (x-x1) = b2 / (y – y 0)之類的，再不然就要用參數式 x0向量 + t* b向量來表示，只不過x0 和b都是三度空間的向量，x0向量需要的是直線通過的那個點，而b向量需要直線的方向，因此只要有一個點和一個方向就可以訂出參數式，例如：三角形的重心。
代數符號的念法、粗黑體字：
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符號 |
英文念法 |
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v V |
V check |
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__ V |
V bar |
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V’ |
V prime |
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à V |
Vector V |
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‧ V |
V dot |
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~ V |
V tilde |
黑板上的粗體字，這些特殊符號，像：N、Z、R、Q、Ｃ，這些常用的符號，這符號的名稱叫黑板粗字體，但這實在很難用中文說，所以英文就這麼說black word board，但在黑板上寫粗黑體需要塗來塗去，實在很麻煩，因此就發明了這個粗黑體。
平面向量的內積：
向量內積可由座標方式定義或由幾何方式定義，這兩種方法都有，不管是先從幾何方面定義或座標方式定義。這兩件事，一個是定義，則另一個則為定理，兩件事情都要跟學生說，透過餘弦定理將兩者做結合，因此將u跟v的代數算法，跟u v 內積幾何意義做連結。在教導學生餘弦定理時，餘弦定理其實是畢式定理的推廣，將餘弦定理與畢式定理連結，使畢式定理成為舊知識，讓同學瞭解畢式定理只是餘弦定理的一個特例。
投影指的是垂直投影；柯西不等式則是來自於uv的內積，由u 的長度乘上v的長度乘cosθ推導出來的；直線的法向量，這時候我們應該要知道垂直的兩直線斜率相乘為負一，藉由這個事實，我們可以處理圓與切線的幾何問題，至於向其他二次曲線的切線問題則不需要深入探討，因為在將來的微積分課程中，學會隱函數微分時，這些題目就可以迎刃而解。所以我們在高中數學課程中，我們應該盡量把學生的知識架構擴張起來，這樣我們需要背的東西，也會因此變得有架構。點到直線的距離，這就與法向量有所關連；面積公式，可能就是兩向量張成平行四邊行的面積。
柯西不等式：
柯西不等式可以用來處理一次式與二次式的極值問題，而多變量的極直問題，應該留在大學多變量微積分再深入的學習。
面積公式：
其實面積公式有點困難，因為面積公式是由餘弦定理推導出來的，就是把內積向量的長度、內積這些東西展開，然後就會導出一個計算的式子，稱這式子叫行列式值，其中u這向量是ac，v的向量是bd，然後寫成行向量，如果將他轉置也是可以，因為轉置後determine 值不會變，而向量要寫成值的還是橫的，就看你們高中怎麼教比較方便，但我比較希望的是可以和大學教科書的寫法結合起來。就好像我上次說李國瑋教授提到世界上在做排列組合的研究著和外國的教科書不再使用C 的那中符號而是用 ( ) 這樣的符號表示，因此他希望在高中教科書可以改，以免一上大學就有新的東西。我們都習慣把向量寫橫的，但上大學後我們卻都寫成直式，而造成我們的不習慣，將向量寫成直的已經成了一種慣例，所以希望以後高中教科書也可以改這樣的寫法。
平面向量的基本應用，抽離座標系，探討平面向量的基本應用，例如三角形兩邊基本定理，平行四邊行定理等等，含三角形兩邊中點連線定理、平行四邊行定理。
數學Ⅲ
第三單元：空間座標系與向量
在這單元，平面與向量是分兩章節來說的。在我們學了高等數學的時候，往往都會認為平面是空間的子空間，但這想法嚴格來說是不對的，因為在二維空間中是的點是X Y組成的，但三維空間中卻是XYZ三個所組成的，因此不能說二維是三維的子空間；相對的，我們可以把三維的第三個維度寫成零，如此一來二維就是它的子空間。因此我們在教高中生的時候，雖然空間與平面有很多相似的卻不一樣，還是要讓他們清楚知道平面歸平面空間歸空間，其中一個例子是一次多項式在平面中表示的是直線，而在空間中代表的著平面。若在平面中兩個變數 X、Y ，例如X+Y＝1這方程式就是平面上的一條直線，而空間中，這兩個變數的方程式就是沿著這條直線垂直的那個平面，所以在平面上X^2+Y^2 = 1 代表的是圓，在空間中則代表著一個上下無窮長的圓柱。雖然這些事情不需要跟學生說，當我們不小心提到的時候就必需要明白有這樣的一件事情，所以我們本身就要知道很多相關的學問。
在三度空間中，一開始有空間概念，指的是座標的三個維度；空間中兩直線、兩平面、及直線與平面的位置關係；三垂線定理，則是指一條線可以同時垂直兩條線；空間座標系的分點公式、距離公式、向量的加減、向量的內積，這些跟平面的形式很像。但空間中多了一個外積，因為外積需要第三個向量才行，教科書中要如何帶出外積這個概念呢？在微積分的課本中，外積都會與力矩做結合，藉此代出這個名詞。然後體積，我們知道外積的絕對直會是體積，而平行六面體的體積就是三個向量，經由兩個內積和一個外積的長度；而三階行列式值，可以由three product 來定義。