機率的性質，藉由生活中的實例，以說明機率函數要滿足的基本條件。並證明機率函數的一些性質。
條件機率與貝氏定理，講到貝式定理一定要有集合，然後獨立事件、隨機變數，引進隨機變數與機率密度函數。我聽說這次改這個大綱的目的，在統計方面要把隨機變數放進來，不然整個機率統計的課程沒有一個主幹。說明隨機變數如何產生，並強調隨機變數，即定義在樣本空間的函數。就是我們剛剛說的，可以被視為一個函數，剛才前面舉例子的樣本空間說是擲五次銅板，所以是{0 0 1 0 0}、{0 0 1 1 1}的這種所有可能，求樣本的機率必須從樣本空間下手，才能算出出現3次正面的機率是多少，首先要列出所有的可能出現3個的可能，在除以樣本空間的總數。不過我們還有其他高等的方式可以求出這個機率，例如：x為班上同學的數學成績，樣本空間不僅是現在班上的所有出現成績，而是把全部有可能的成績都列出來，比如說0到100分的整數成績都要列出來才是樣本空間。x為投銅板三次中出現正面的次數。機率密度函數的例子，班上同學的學測級分相對次數圖，因為高中很難畫一個指數(exponentail)函數出來跟他們說這是均勻分布，所以這邊的機率密度函數幾乎都是長條圖的那種形式，相對次數圖是70級分的有多少百分比的人？還有投銅板三次，正面出現的機率密度函數圖，投銅板三次，三次投完才算一次實驗，隨機變數x就產生了一個數出來，比如說是2，如果班上有30個同學，每個人你叫他做10次，那就是300次，把答案匯整到黑板上，統計出現0個正面的有幾次、1個正面的有幾次，就可以畫出一個機率密度函數圖。
一個隨機變數的期望值，是因為常想粗略地知道其值究竟多，應該說最可能是多大，來代表一個隨機現象中變數大小。我記得我讀了黃文璋教授那篇文章，在講大數法則和中間值定理，有什麼一樣和有什麼不一樣，我當時看了很有道理，可是我現在忘了，以我們自己的學習經驗來看就是學的不夠紮實。因為你讀了一篇文章跟半本書好好讀下去，習題也都做了，那時候的了解跟讀一篇簡單介紹了解的文章是不一樣的，讀小篇文章，當時看了我都懂都很有道理，可是現在我都說不出來，就是不紮實，不紮實的原因就是我沒有好好做過習題，我要怎麼樣才會好好做過習題，我一定要教過那門課，教那門課我就會例題都看習題都做。
今天在機械系上微積分，談到二項展開時候，他們一臉糊裡糊塗，更奇妙的是講到arcsin、arctan一臉茫然好像第一次聽到，只好很快的將反三角函數幫他複習一遍。下課的時候，一群同學拉著一個數學好的人衝到講台上去，請他講反三角函數。現在的高中生不是有?反三角函數？『他們只有在求不出角度的時候，才會用反三角來求解。』可是現在的數學綱要明明有寫，可是不知道?到什麼程度，不知道會不會畫圖出來，你們知道嗎？課本上有沒有arctan的圖？『有！』arcsin的定義域在正負一之間，值域在正負π/2，這些有?嗎？這兩個圖都有畫！只是看他們一臉茫然的樣子，也許是因為聯考不會考，所以他們學一學就算了，這是在什麼時候學的？『高一下！』跟三角函數一起，難怪他們不會，這樣上太狠了、太慘了。所以到後來都忘了，考試也很少考到，也真的都忘了，現在微積分在講起的時候，就是很茫然的樣子。
剛剛說期望值就是一種數，還有其他的術語像variable，這一種數來代表隨機現象的某一個量，期望值代表差不多是多大的意思。變異數又是另外一種量，期望值像是隨機變數的一個核心，隨機變數的可能性就散佈在期望值得左右。變異數的正的平方根稱為標準差，表示隨機變數的可能值與其期望值的偏離的大小。變異數大就是離期望值遠的機率還滿大；變異數小就是離期望值遠的機率小一點。這個x就好像做一個實驗，比如抽一個學生然後問你考幾分，這就是作一個抽樣，可以得到一個數，這個數離期望值遠的機會大還是小，就表現在變異數或者是標準差上面，差的平方根定性來說沒有差很多。
二項分佈的重複的實驗，像我們擲銅板，一直擲一直擲的樣子。例如，每次買彩卷中獎的機率是p，不管中200元還是20000元，中獎的機率是p，買n次中獎k次的機率是C(n,k)(p)k(1-p)n-k。二項分佈的性質，在這一節教學生要畫出二項分佈的機率密度函數的圖形，求出期望值np及變異數np(1-p)。
統計分成敘述性統計跟推論性統計。描述統計就是描述這些量，或是這些量與量之間的關係；推論統計則還希望可以預測。描述性統計的數據都假設資料來自於全部母體，捨棄抽樣的問題，分析一維母體數據，就是平均數和標準差，假設全部來自於母體的話，平均數就是全部的總和除以n，標準差就是剪掉平均數的平方和除以n再開根號，差異在這裡，假設資料整個是來自整個母體，標準差的分母是除以n。如果是抽樣的話，母體很大不知道多大，抽樣抽了n個，在標準差的分母是除以n-1，這也是要弄得非常清楚，有一個式子可以推倒，當你把平均值放在那個式子裡面，知道n-1個數和知道平均值，那n個值你就會知道。比如我有四個數，然後我告訴你三個數，和那四個數的平均值，你就可以算出那第四個數的值，所以第四個數就不是一個自由度的樣本，因此看起來有n個樣本，其實只有n-1個樣本，當你也把抽樣放進來討論，所以在算標準差的時候才會除以n-1，算期望值(mean)的時候沒有除以n-1，算期望值(mean)的時候期望值(mean)還沒有出來，你有的就是n個樣本，那n個樣本都是獨立的，都是degree of freedom，是我們作計算所說的自由度，所以是除以n。
分析二維母體數據的幾種方法，一種是散佈圖，二維就是在平面上把一個維設定成一個性質；把另外一維設定成第二個性質，然後每一筆數據(sample)就可以在二維平面上對應一個點(dot)。比如你有2000筆資料，把這2000筆資料的每一筆資料都在平面上畫一個點，中間不要拉線，這就叫做散佈圖。觀察這個圖，看看這2000筆資料是不是聚在一個某一個特定的地方，或是分成兩三推，或是他非常均勻像一盤散沙看不出什麼趨勢出來，相關係數是把兩筆資料當作兩個向量，算這兩個向量夾角的cosine，相關係數一定介於-1到+1之間，因為算的是cosθ，算這兩個向量的內積除以他的norm就是cosθ。最小平方法，如果看的出來散佈圖好像沿著一條直線散佈，或是沿著一個什麼曲線散佈的話，可以使用最小平方法決定，可能是直線可能是二次多項式三次多項式，也可能是指數函數。
這時候才談到簡單的隨機抽樣，說明常要收集資料以對隨機現象做推論或預測。並說明何時要普查，就是每一個人都要問，何時要抽樣調查，並介紹隨機抽樣的方法。第二節介紹及使用亂數表，當你需要隨機抽樣的時候，就要配合著亂數表來使用。
第三節二項分布與常態分布，介紹常態分布及其圖形，這裡是不可能把公式寫出來，因為高中沒有講到那哩，沒有講到指數(exponentail)函數，對二項分布，說明當實驗次數較多，可以常態分布作為其近似。
第四節信賴區間與信心水準的解讀，對一給定的p和n，以亂數表模擬投擲出現正面機率為p的銅板n次。如果這個銅板是不公平的，他投出來的機率不一定要是p。介紹信心水準的意義。對一給定的信心水準，給出p的信賴區間公式。而我聽到我的學生現在正在高中教書的說現在最忙的就是做這方面的研習，出去聽老師講課，通常是台大、淡江、師大有幾位數學系做統計的教授，會編一些教材，不時會邀請到那個學校去講課2到3小時的研習，在那附近的高中老師就會藉此機會趕快過去，因為從95暫綱開始這種東西就已經進到高中課本，現在的高一還沒有明年的高二就要碰到，所以明年要教到高二的老師就開始緊張，像那幾個我的學生去年就已經準備好比較新的統計。
第五冊的要教矩陣。簡表上一開始說函數，函數的四則運算、合成函數的繪圖，那一部分就放在5.3了，所以這邊有一些重新整理，5.2矩陣是現在最新版本第五冊放在第三單元才說矩陣，這個文件沒有特別說明我們也就不說明了。線性方程組與矩陣，列運算與高斯消去法，其中列運算要注意，經過列運算不會影響線性聯立方程式的解，這是一個很重要要交代的事，不要沒頭沒腦的就講這個東西，然後學生就會忘記當初的目的。我們要求解，如果列運算會影響解，這當然是不可以的。接下來是矩陣的加法、乘法、純量積、矩陣的應用，應用就要看教科書怎麼寫，舉了反矩陣和克拉瑪公式，克拉瑪公式我們說了好幾次，做二階還可以接受，三階就麻煩了。一般n階的線性聯立方程組是不可能用這個方法的，然後用矩陣來做旋轉鏡射，這個我們在線性代數的時候學過，然後伸縮、推移、垂直投影，有沒有人知道什麼東西叫推移？好像是把一個正方形弄成平行四邊形，上下兩邊還是平行，這個叫推移。這些平面的圖形都可以用矩陣寫出來，特別強調一點，不要再回去弄二次式，不要再回去旋轉、推移，尤其是不要去旋轉一個橢圓，變成有xy項，我們不去做那件事，我們只做簡單的平面圖形就好。然後行列式與線性映射的面積比，我們在前面那幾冊行列式都是從幾何從算面積算體積推出來的，到這邊是再一次的把他拿出來，當初我們已經說了行列式二階三階的行列式的演算，他的算法定義幾何意義都已經說了，現在我們寫了一個矩陣，發現這個矩陣已經擺成四個數或九個數的樣子，就可以把行列式的算法拿來用。
第五冊的第三單元函數，其實要對應新的第五冊第一單元的函數，函數得四則運算和合成，合成函數的學習與目的，就是要學會使用連鎖律(chain rule)。當你在微分的時候要作連鎖微分，要先用想看看他怎麼合成，可能兩個合成、三個合成，要先看出來用什麼成合才知道怎麼用連鎖律(chain rule)去做。函數的繪圖只談幾件事，y=ax+bn、y=c/xn、絕對值函數，以及這些函數的平移，還有這些函數放在一起比大小，比誰上升的快，誰比誰上升的慢。再來是根式函數，這裡只處理裡面是二次多項式的情況，自然定義域就是那些根式裡面大於0的數。第五冊的第三單元，出現了反三角函數，以前是把三角函數拆開來，在第三冊、四、五冊講，現在的做法是把第四冊的挪到第五冊來，而第五冊原來擺的是反三角函數及其圖形，打了一個星代表乙組不考。圓與直線的變換，如x=cosθ，是將cos2θ與cos3θ表成x的多項式。這裡他想做柴比雪夫多項式，柴比雪夫多項式是一個很有趣的式子，第一你可以練習多項式的計算，第二你可以把三角函數和反三角函數合成在一起做一些計算，第三你可以再度的學習遞迴(recursion)，遞迴的等式關係可產生一個數列，但是這時候不是一個數列或是一個函數列，你可以用cosine、arcsin來定義，發現其結果是一個多項式，這就是他想用柴比雪夫多項式來做一些例子，再來是tan1/2θ適用tan的半角公式，用對同弧的圓心圓周角的關係來做圖。
第六冊就是我們大一上學期的微積分。