上次我們應該是讀到182頁，接著連結能力指標的解題。
C-S-04能運用解題的各種方法：分類、歸納、演繹、推理、推論、類比、分析、變形、一般化、特殊化、模型化、系統化、監控等。
變形(改變表徵方式)：例，一地標目擊者說是在此偏東30°，約200公尺遠，則看地圖可能要說成往東100公尺，再往北170公尺。 這個表徵相當於我們數學兩種平面座標的轉換，「往東30°、約200公尺遠」這個是極座標的說法；在地圖上以一個地標為原點，從這個地標「往東100公尺、再往北170公尺」是平面座標的說法。在學校學習座標系統的時候，很少學習極座標系統，這是教育上的偏差，一但進入社會之後，不論在軍隊或是氣象上的描述，常常會用「朝什麼方向走多遠」這個說法，這就是極座標的想法，很可惜國內的國中小的教育並沒有教導及座標表示法，只有到高中才交。我在看國外的綱要的時候，我發現英國跟新加坡非常注意這個概念，小的時候先學「以自己為中心，往東南西北多少步」。
一般化：例，百化公司打七折，則先打折後計5%的稅比較便宜，還是先計5%的稅再打折？這個例子對台灣人來說不太好，因為台灣的習慣是商家吸收，所以臺灣人並不會太注意稅的問題，而美國則是會收購物稅，有一些州的稅比較高，有一些州的稅比較低，大部分的洲對於民生用品不抽稅，例如賓州買東西要加6%的稅，紐約是要11%的稅。所以對台灣人不是很感興趣，這裡有一個機會，就是可以問同學，什麼是比較好的例子，這是一個符合乘法交換率的例子，所以先打折再計稅跟先計稅再打折會得到一樣的結果，跟原價無關。
特殊化：例如某個診所從外面買進濃度95%的酒精 要加純水配成70%的酒精來使用。如果需要70%酒精100cc，則要用95%酒精多少c.c.? 答案是100*70%÷95%=73.68，不過73.68c.c.不容易測量，如果不在意70%的酒精剛好100c.c.，只要適量就好，則可以一般化，暫以x表之，而答案就變成了x*70%÷95%=70/95x，若取特殊值x=95，則答案為70c.c.，很容易量得準(也可以取x=190)，其實我也不太同意這個例子，因為這例子太複雜了，特殊化是給一般性的例子，在這個特殊的情況下要怎麼使用，給它一個特殊的例子把根算出來，其實這些通通都是特殊化，不需要這麼複雜的例子。
模型化是五年級以上最重要的訓練能力。 模型化是從一個文字敘訴，就現在的教育來說一定是寫在課本上，如果當工程師的話就會是一個情境、一個真實的環境，所以說模型化的第一步是用文字描述現在的狀況，第二步是根據這個文字描述的情況用數學的式子寫出來，既然要數學式子描述一個狀況，就要先分離出會變動的量，把每一個變動的量給一個符號，例如是xyz，然後根據這會變動的量寫出它們之間的關係，可能是一條或一條以上數學等式，當要先成數學等式之前，就可能要做抽象化了，在情境中的某幾個東西是點，也許它是一個球，但是要假設它是點，一但假裝她是一個點，在這個情境之下，根據你的需要假設一個座標軸，根據需要假設X軸和Y軸，或者是用極座標來想事情，做這樣子的抽象化，這樣的話這些的東西才會符合數學的特性，例如點線面和夾角，這些事情是很小的時候就開始練習了，練習立方程式這個動作就是模型化，把一個真實情境的問題換成數學方程式，所以模型化是第一個用數學方程解決數學的問題的第一個程序，第二個程序就是純數學，一但寫成數學方程式該做的事情就是求解，要不然就是積分，要不然就是微分，還有許多更複雜的事情。說不一定有一個微分方程要解，就是一個純的數學動作，第三個步驟是純數學結束之後，會有一個解，這個解簡單的話可能是平面上的某一點，複雜的話可能是微分方程的可微分函數，一個方程式寫在那，第三個步驟是根據這個解還原到現實世界解釋他的意義，也許有一個東西是球，你假設它是一個點，你算出來的那個點就要代表另一個球，這顆球跟原來那顆球有什麼關係，這個需要解釋，這個解釋完全跟情境有關係，不能在數學上解釋這個東西，一定要回到情境才能解釋，所以這邊的模型化只說了數學在自然作應用的第一個步驟，而第二個步驟是我們從頭到尾學數學的目的，就是寫成數學模型後要會求解，第三個步驟裡很少人談，第三個步驟要還原，把數學的解還原到真實世界裡，這個步驟在數學系裡面完全不談，那些工學院、商學院的人主要在談第三個步驟，而第二個步驟以前是數學家的專利，現在常常被電腦取代，中間那個步驟只要他們善於操作電腦，他們可以不用請教數學家也可以求解。
模型化：例，一個社區有很好的游泳池，但需要一筆維護費。使用者(按使用次數計費)付費呢？還是擁有者(按土地坪數)付費呢？哪一個比較好？如果爭執不下，可用線性模型來化解，如果依以下公式各付部分費用，就是說按使用次數付費跟擁有土地來付費，但是各佔一個百分比，就是做一個調和平均，做一個加權平均不是調和平均，x*使用者付費加上y*擁有者付費，其中x跟y是參數，然後假如會等於某個常數，使用者的用現在不太能估計，因為無法估計這個游泳池會被使用幾次，但是如果我們假設會使用多少次，加上現在知道每一個人擁有多少坪數，會等於一個常數，那x+y=1那就是一個加權平均，例如說分攤30%是使用者付費，70%是由土體擁有者付費，這就是一個模型化的例子，我對這個例子也是有意見，這個例子實在超複雜的，實在不相信初中生能夠懂，要例這個式子可能最早最早在初中一年級的時就要這樣做了，何不挑一個初中生課本常見的例子，總之模型化對大部分的數學老師和學生不是一件陌生的事情，通常只要我們在做應用題就是在做模型化，根據一段文字，然後從文字裡面挑出變量，決定哪一個是自變量和哪一個是應變量，如果兩個都是自變量的話，就會變成兩個變數的函數。
系統化：平面座標、道路門排列(上個禮拜談過)
監控(防範解題出錯的一些機制)：如用代數方法解問題時，應排除不符合題意的解，如長度、面積為正，應該知道不可能為負值。
C-S-05能了解依數學問題可有不同的解法，並嘗試不同的解法。 希望學生能夠了解有不同的解法，這不用看例子了，因為對我們來說這太正常了，像我上禮拜寫在這裡球的內接最大圓錐，起碼有四種解法。
C-S-06能用電算器或電腦處理大數目化大量數字的計算。 這裡寫在這邊形同嘴砲，妳們也知道因為國中小的老師幾乎不用電腦在上課，只有老師參加實驗計畫或是在職專班，為了老板的要求才會用電腦上課，現在台灣把電腦帶進學校裡面，在正常學習的過程當中就使用電腦，在世上的先進國家是很差的，在先進國家裡面日本跟一樣差，雖然我們是全世界製造電腦最優秀的兩個國家，可是我們卻很排斥把電腦帶進教室裡，一直是我們這兩個國家對教育的看法，是很奇特的事情，非常值得教育學者去做研究，在這個方面特別抗拒改變，現在有很多理由，最富麗堂皇的理由是避免成鄉差距，因為城市裡的小孩功課會變得更好，造成數位落差，雖然現在每一個鄉下都有電腦教室，不過網路通不通不知道，不過數位落差不至於是一個好的理由，總之寫在這裡用電腦處理大數目就是大數字的計算或是大量數字的計算，在這種情況下會用計算器，是指掌上形的計算器，不是電腦，寫在這邊是白寫的，因為沒有人在用，如果我們現在假設學生拿一個很簡單的計算器，很簡單的科學型計算器，我知道它們的價錢很低，如果一個國家真的怕城鄉差距，隨便募捐一下每一個人都可以有一台計算計，如果只給國中生用的話，不過會怕學生有計算器的話計算就會不好。
溝通
C-C-01能了解數學語言(符號、用語、圖表、非形式化演繹等)的內涵。 說明大家自己看一下就好。
C-C-02能了解數學語言與一般語言的異同。 數學語言明確，其指涉對象局限在能夠模型化的問題。 我在想我能夠舉什麼例子，數學語言的內涵，我們應該知道就像我們剛剛的模型化，有些東西不是一個點，但是我們在討論的時候假設它是一個點，比如說檸檬或橘子並不是球，但當我們在討論他們的距離的時候，我們可以假設它們是球，還把他們的半徑、直徑都假設出來，這就是了解數學語言和一般語言的異同，我們在數學語言可以說這是一個球，在數學語言裡沒有兩個東西哪一個比較像圓、哪一個像球，因為球就是球、圓就是圓，但是日常生活中這兩個圓哪一個比較圓，按照數學定義來說他就是個圓，要不然就不是圓，如果不是圓就只是一個封閉曲線。了解數學語言的內涵包含了圖表，我剛剛原本想講統計上的圖表，可是我想到一個更簡單的例子，就是y=f(x)的函數圖形，如果想像x是時間，y是位置，看到y=f(x)的圖形其實是看到整個運動過程的時間被凍結起來，在一個時間x時在y的位置，所以整個曲線表現給我們看是一個一維運動，一個質點在y軸上的運動。
C-C-03能用一般語言與數學語言說明情境與問題。 這其實就是要訓練表達能力，這裡包括我剛剛講的，碰到一個情境連文字都沒有，要能培養學生一個能力能夠用把情境清楚描述下來，第二步是能精確的文字描述起來，第三步才是再裡面抽出來哪一些是變數，建立數學模型，在一般語言當中也可運用一些數學語言，例如垂直、平行，像這一批例子一開始的地方，是全班假設要去阿里山旅行就是一個情境，就有東西可以開始寫了，在寫的過程裡面就會參雜一些數學語言。
C-C-04能用數學觀點推測及說明解答的屬性。 例如88學年度大學聯招，因某些試場監考的疏失，有98名考生試後加分，採增額分發錄取方式，到底有多少考生屬增額取的？因為全體錄取率是60%，而這98名考生屬於一般的高中(並不特殊)，所以估計為60(≒96*60%)名，因為這98個人差不多是100個人，這樣才不會比其他人高或低。
C-C-05能用數學語言呈現解題的過程。 這個應該是整個學數學的重點，有好幾個國小老師問過這個問題，教中學應該不會碰到，不過碰到初一的學生可能會有問題。例如3+12+6=15+6=21和3+12=15+6=21這兩種寫法，第二種是錯誤的。
C-C-06能用一般語言及數學語言說明解題的過程。 就好像是上台做習題給學生聽，不可能從頭到尾都講數學符號，一定會說一般語言。
C-C-07能用回應情境、設想特例、估計或不同角度等方式說明或反駁解答的合理性。 非常接近我剛剛說的一件事情，用數學的一制性的知識來監控一件事情對不對， 這邊說的非常好設想特例，我門經驗比較豐富，常常一代入就錯，最極端的例子想一兩個、平均的例子想一兩個，對了不代表答案對，但是錯了答案一定錯。承C-C-04如果分發結果只有四十名為增額率取顯然解答的合理性的懷疑：如果有64名，與估計的60名相近，則為合理的數目，設想特例：定理「圓周角為同弧圓心角之半」中的圓周角其實有無窮多個，明顯的特例就是把此圓心角的一個半徑延長而得的一個圓周角。由此特例，上述「圓周角為同弧圓心角之半」的定理比較容易理解。而通例的証明透過這個特例也可以獲得證明。不同角度：例，1+2+…+99+100等於多少？這個故事我們看過很多遍，你可以把他反過來對加或是看成梯形。