C-C-08能尊重他人解決數學問題的多元想法。有那麼一種寫數學模型的方法比其他都好解，也許不是解出來答案對就好，中間過程漂不漂亮還是有蠻大差別，至於數學家認為什麼叫漂亮呢？這也是一件很有趣的事，一旦你受的數學教育夠了以後，你就會對什麼是漂亮有一個共同的看法，我們受數學訓練不夠多的人，認為漂不漂亮是很主觀的，隨人不同，但是只要受數學訓練夠多的人，只要碰到數學類的問題來決定漂不漂亮的話，大致上會有一致的看法。例如：2x/3和(2/3)x，大家都覺得(2/3)x比較漂亮。1/根號3，(根號3)/3，左邊看起來比較簡單，可是受過夠多數學訓練的人都覺得右邊比較漂亮，因為根號3不像整數是個具體的量，根號三是個無理數，根號三在實數線上有多長我們大概有概念，但是放在分母我們就沒有概念，不知道這個數有多長，(根號3)/3我們是有概念的，我們知道(根號3)是大約在1.7的地方然後在1/3大約在0.5和0.6之間。所以我們喜歡有理化分母，不喜歡分母有根號。
給一個偶函數y=x2，它和y=0這兩個哪一個比較簡單？大家都會覺得y=0比較簡單，可是對國中生來說y=0是一個偶函數他們很難接受，但是這兩個偶函數哪一個漂亮不是簡單，受過好幾年的數學訓練以後，我們的美感得到一致的發展，我們對數學的哪一個解法哪一個形式漂亮應該要有一個看法，要相信你這個看法是對的有道理的，要把這個看法傳給學生，這叫作品味，這是很重要的。
C-C-09.能回應情境共同決定數學模型中的待定參數。 這是溝通，因為參數要放什麼都可以，大家溝通協商一下看放什麼比較好，這裡延續游泳池收費的那個例子。
C-E-01能用解題的結果闡釋原來的情境問題。這就是數學模型化，用數學來解真實的問題的三個步驟，第一個模型化，第二個純數學裡面求解，第三個用解題的結果，那是個數學結果，但是你要把它翻譯回去那個情境裡面是什麼意思，例子，下列序對那些可能為三角形的三邊長，這個例子好像太簡單，這其實不是一個解題的解果，你只要想到一個定理，三角形的任兩邊加起來大於第三邊，帶進去看看誰符合這個定理就可以，所以這不是一個好的例子。再比如說，一個統計的問題要算出來的單位是人可是算出來是2.7，你必須要還原到那個題目的情境中，要回答三人而不是回答2.7人。再比如說，今天開一個同樂會，全班要分攤那個錢，算一算大家要分攤48.2元，0.2元在我們的幣值是拿不出來的，所以回到情境最簡單的方法就是每人收50元，多的錢下一次再聚餐。
C-E-02能由解題的結果重新審視情境，提出新的觀點或問題。這就是科學進步的一大原動力，當你發現解題的結果還有什麼可能性的時候，純粹從數學來看還有什麼可能性，在真實的世界裡說不定真的就有那個可能姓，只不過當我們沒看到這個數學解的時候，我們沒有想到還有那個可能性，這在近代物理裡面最最最了不起的例子就是相對論。相對論的俠義相對論一開始是有明確物理意義的，然後一個叫名可夫斯基的數學家跟希爾伯特是好朋友在哥丁根大學，他把他用四維幾何的方式，重新寫出來俠義相對論的那個寫法，一開始愛因斯坦還冷嘲熱諷說太過數學化，我不喜歡，失去物理意義，可是後來他自己卻發現原來那個數學化的寫法有非常深刻的意義，很可惜名可夫斯基很早就死了，不然現在大家不會說相對論是愛因斯坦的功勞，而是名可夫斯基，他幾乎已經到了那裡。還有一個傳言，就是名可夫斯基的好朋友希爾伯特，比愛因斯坦早兩個月把廣義相對論的那個東西算出來，但是希爾伯特沒有了解它對應物理的意義，所以他沒有去發表，等愛因斯坦跟他說的時候他很悔恨的說我上個月就已經知道了，這只是傳說但也有可能，因為這兩位的數學功力都比愛因斯坦強太多，但是他們不知道怎麼把它還原到物理那邊去解釋彎曲的時空是什麼意思。還有一個就是黑洞，黑洞就是解微分方程，根據數學的解來推論說這個宇宙有黑洞，然後才有別的論證要怎麼樣才可以找到黑洞，然後又找到白洞，中間說不定可以坐時光機器，這些就是以後要繼續想。這就是這一點重新審視情境，對這個物理世界或是真實世界，提出新的觀點或新的問題。這是很大很大的一個能力，國中生有沒有辦法在這邊發現有這樣的一個可能性，實在是太困難了。
C-E-03能經產市級審視情境，重新評估原來的轉化是否評估得宜，並做必要的調整。重新評估原來的轉化是否評估得宜的這個轉化，我相信指的就是作數學模型，你現在求到一個解或許你不滿意，把那個解翻譯到現實情境你覺得不滿意，或許你會發現當初不應該用這個數學模型，例如說有一些球狀的東西，你假裝他是點，然後你就進了一種數學模型，根據這個數學模型不管他是代數還是幾何，你得到一個解，把這個解裡面的點還原到原來情境的時候你覺得不合理，或許你發現你求出來的解，那些球都是互相相交的，那不可能，或許那些球都是硬的，所以不可能相交在一起，你不能接受這樣的解，所以遇到這樣子的情況，你或許會反省，當初不應該使用這個數學模型，不能假設每個球都是一個點，或許他真的得是一個球，才可以做下去。 C-E-04能評析解法的優缺點。還是牽涉到美不美，簡不簡單，自不自然這些說法。 C-E-05能將問題與解題一般化。也許一開始遇到的問題是有一些特殊的數據，一旦你求解之後，你發現這些數據裡面的某一些數據是隨便變化都可以。假如我存1000元，如果每一年的利息是4%，存多少年後有2000元，就是1.04的多少次方會等於2，解了一次之後你會發現，跟你原本存多少錢沒有關係，只跟利率有關，利率出來就是1+x的n次方等於2的這個問題，這就是將問題與解題一般化。
九年一貫有五大主題，其中四個是數學主題，最後一個是連結，附錄2就是有關數學主題的分年細目，一一來詮釋這個細目是什麼意思，詮釋細目而不是指標，就是用阿拉伯數字1到9開頭的那個編號。 數與量 從小學一年級開始，先認識100以內的數，一上是20以內，一下才是21到100，20以內的數很重要，因為裡面有借位跟進位的觀念，用扳著手指頭也要幫她算出來，算到很熟很熟。我發現新加坡的教科書裡面有加法表跟減法表，我們台灣只有乘法表沒有看到加法表和減法表，加法表就是0、1、2、3、4、5、6、7、8、9和0、1、2、3、4、5、6、7、8、9的相加，就是20以內的加法，他要小孩子用手指頭算的出來，幾乎要熟練到就是背起來。
位名就是個、十、百、千、萬、十萬、百萬、千萬一直排上去，我們的課本大概是講到億，也許講了億就很自然的講十億、百億、千億，在網路上可以查到兆、京，最後我們就用10的幾次方來說。還有一件有趣的事要注意，英文說一個billion不是億而是10億，要小心常常有人搞錯，一個maga是百萬，我們說一個magabytes是一百萬bytes，可是一百萬是106，magabytes是220次方，220不會恰好是一百萬，我們知道220是一百萬左右，所以我們知道這個沒有錯，可是當我們在聽收音機的時候，調幅是KHz，中文就翻譯成千赫，這是正確，那個MHz應該是百萬赫，可是台灣把他翻成兆赫，為什麼要翻成兆赫？可能是因為古時候的人覺得翻成這樣比較好聽，這是1930年代翻譯的，那個人可能只想要好聽，所以翻成兆赫，但是兆赫不是一個收音機可以收到的一個頻段，太高頻了。
整數裡面的加減法，或者是十位和個位和百位的化聚，化聚就是把它分開來或者再合起來，最簡單的一個例子就是用錢幣，台灣是有一元、五元、十元、五十元這些錢幣，到了二年級才有100、500、1000拿出來。
運用數來表達多少、多少、順序。如果要用比較抽象的來解釋就是小學生在小學一年級的時候，首度接觸到數學模型，例如我有五支鉛筆，你有三支鉛筆，誰比較多？這裡用到的數學模型就是數字的順序關係，只有數才能比大小，一旦你賦予一個量數的概念以後，那個量的多少、長短或大小，全部都跟數的順序扯上關係，這就是一個數學模型，到了二年級就開始量長度，量了長度就開始比長短，像課本會問書比較長還是鉛筆盒較長，可是這有一個問題，就是這兩種東西都是2-dimension誰叫長？這裡很麻煩，一般語言跟數學語言在小學的時候碰到極大的麻煩，比如說你不能問門有多長？門一定是在說它有多寬多高，桌子照規定在一般生活習慣不會說長會說寬或深，但是小學在一年級跟二年級都跟他說這個叫長，這就是教育和現實脫節的一個很嚴重的事情，當我們審視一下小學課本，發現除了數學課以外也沒有其他課本告訴他們，桌子叫做寬跟深跟高，門叫寬跟高，都沒有一個課本正式的教他們，這個東西變成一個黑洞，不是物理的黑洞，是指一個黑盒子，學生一定要在某個時期在社會經驗中學到這件事，他不能從他的教育體制學到這一點，這是一件很不好的事。一本書沒有人說一公分高大家都說一公分厚，這是自然語言與標準語言，嚴謹的標準語言說寬、高、深，長、寬、厚是一般語言，所以一般語言與嚴謹的語言有一般關係，嚴謹的語言到數學語言又有一個變化，這些事情在他小學的時候老師應該教清楚，如果到了國一他還不清楚，這件事情就要重來一遍，你要給學生一個機會教育。1-n-03是小朋友第一次獲得數學模型的經驗。
1-n-04能從合成分解的活動中，理解加減法的意義。比如說14-6就是把10-6先做出來，10要先拆開來，但是現在的部編版的教科書還喜歡教一個特殊的辦法，他們希望學生對2倍非常有概念，像14-6他能夠立刻想到14是2個7，7-6是1這個很容易，然後再跟另外一個7並在一起得到8，就是碰到一個十幾的數減什麼，除了拆十以外還有一個辦法就是把它剖半，剖半或許比較容易，所以一開始小孩都是學正的數上去倒著數下來，然後再學合10拆10，熟練基本加減法，然後做一位數的連加代表在實際操作是三個一位數加起來，三個數加起來是為了直式加法作準備。
認識時間，時間是整個小學教育獨立的一支，它有他自己的一個進度，一年級就是能報讀日期與鐘面上的整點、半點，越來越多電子鐘之後，這件事變得越來越難交，小孩子會問我為什麼要做這件事，爸爸買給我的錶和學校裡的鐘都是數字的，其實還是有很多小學的牆上掛著圓圓的鐘。 認識長度直接做比較，就是小學一年級只要給你兩個實際東西比長短就好，這裡只要你學比長短的時候要對齊其中一邊，還有要拉直，如果一個直的一個彎彎的是不能比長短，他沒有真的去測量，它有間接的單位測量，不是用尺去測量而是用手指頭、鉛筆去測量。
一年級的幾何，是能認識什麼叫直線什麼叫曲線，直直的叫直線其他叫曲線，能夠簡單分辨包含三角形、正方形、長方形、圓形這些簡單的形和球、正方體、長方體、圓柱體、圓錐這些簡單的體，但是沒有要求他們說的出來那個形跟體的名字，描繪簡單的平面圖形，能夠照的描出來就可以，然後做平面的鋪設和平面推疊，這個是九年一貫才開始有的新的課題，在英國和新加坡的綱要裡面有，就是用有點類似遊戲的方式，讓學生增加一些平面和空間幾何的操作概念，比如說給你一些三角形，你可以拼湊出什麼樣的花樣出來，給你一些正立方體，這些正立方體要怎麼樣推出一些花樣出來，這就是鋪設與堆疊。能描述前後、左右、上下。再來是代數，小學一年級根本沒有什麼代數，要他們從小要了解等號的意思是兩邊的東西要一樣多，上一堂那個式子從小學一年級開始就要讓他們知道那是不對的，從那個時候開始就是要知道等號兩邊的量要相等。第二條在具體情境中，認識加法有交換律和結合律，不用說出這個律的名字出來，讓他具體的發現3+2和2+3是一樣的，小學一年級可以自己發現加法有加換律是可以的，前提是他要很熟練加法。
瞭解認知心理學，有一件事情已經被研究者確定，就是在學數學跟學語言在初級的時候有一個共同的點就是這個學生的大腦有多少工作記憶空間，把記憶分成短程記憶和長程記憶，長期記憶就是真的有一個概念在那哩，所謂建構就是要建構在那邊，短期記憶就是一張計算紙，你要臨時記得一些事才能把這個計算做出來，當小孩開始學的時候，他的工作記憶空間還很小，或者是說工作記憶空間一樣大，但是他對加法不熟練的時候，你就算作一個3+4，就塞滿了他整個工作記憶空間，他做完3+4這一題你突然問他4+3，他已經沒有空間可以留著剛才那個答案是7，全部都擦掉了重來，等他算出來一個7剛剛那個答案是7的這件事已經不在他的工作記憶空間裡面，他無從比對，他沒有辦法發現上一題和這一題的答案是一樣的，這是那種現象的一個解釋，他的認知發展，一邊發展會使他的工作記憶的空間變大，也可以說工作記憶不變，認知越強就是做某些東西越熟練用的空間就越省，所以當他熟練之後，在同一個工作記憶空間算一個3+4是輕而易舉的事，所以7就留在裡面，等下一次算4+3的時候得到7的時候才有機會去發現這兩個東西的答案是一樣的。他也才會記的剛剛做的3+4現在做的是4+3是反過來的，而且他們答案都一樣，這是滿多資訊的，這個資訊是在他3歲半4歲半的時候不能同時放在工作記憶空間裡面，但是6歲的時候就可以，它可以把3+4和4+3這兩個臨時的式子放在腦海裡，然後他才有機會去比對說這裡有一個現象，然後多做幾個就會發現這個事實，然後把他一般化，這對我來說是一個很重要的啟發，就是認知心理學說的那一套還是很有道理，是不能完全反對他們，教書的過程中還是要知道這件事，所以新的東西不能一次都給學生，對我們來說這些都很簡單，但是對他們來說是不能接受，一堂課不要有兩三個新觀念，一堂課最好只有一個，然後跟舊觀念一直混合，然後把新的東西再下一堂課變舊的東西。 在具體情境中，認識加減互逆。加一個數等於多少，然後那個數再減回去就會得到原來的那個數，比如說原來有三顆糖，再給你四顆有多少，然後你又吃掉四顆有多少，他要知道一加一減就是還原回來。 機率與統計，在一年級的時候就是做分類，通常是叫學生帶垃圾來分類，不然就是紀律剪刀、橡皮這類有多少，再長大一點就是練習投票，三、四個候選人在黑板上讓大家投票，做正字號的紀錄，這些就是機率與統計的前制經驗。
二年級跟一年級幾乎一樣，只是把數字拉大，從100進到200然後再進到1000，加減會加超過100。 接下來二年級我們這個綱要被很多很多人批評，大家都批評太過份，就是我們小學二年級開始講乘法，2-n-06能夠理解乘法的意義，乘法還是從2、3、4簡單的乘法開始，而這個就是在練連加，這裡可以解釋我們當初為什麼要學連加，特別是2、5的連加，在這之前已經教學生唱數，就是2、4、6、8、10一直唱下去，或是5、10、15、20這樣唱下去的數，這個唱數就是配合2的乘法和5的乘法，所以學起來比較快，3的乘法就是用3，因為3這個數比較小，可以慢慢加，加出來給他一張表，在二年級要他背出來，因為你一定要背到夠熟了，你的記憶空間才會空出來，才可以學更抽象的事情，去發現更重要的事情，如果光是做加減乘除就塞滿你整個腦袋的話，你後面就都不用學了。 2-n-07在具體情境中，進行分裝和平分的活動，小學老師把分裝跟平分分的很清楚，什麼叫分裝？就是24顆蘋果每6顆一盒可以分幾盒？什麼叫平分？24顆蘋果分進6盒每一盒裡有幾個？
時間到二年級的發展，是從幾點，幾點半，然後要到幾點幾分，然後年月日要可以說出來。