數學科教材教法

95年11月15日第三節‧游雅芳紀錄

六年級

數與量

• 6-n-01 能認識質數、合數，並做質因數的分解〈質數<20，質因數<10，被分解數<100〉。
• 6-n-02 能認識兩數的最大公因數、最小公倍數與兩數互質的意義，理解最大公因數、最小公倍數的計算方式，並能將分數約成最簡分數。
• 6-n-03 能理解除數為分數的意義及其計算方法，並解決生活中的問題。

  五年級的時候認識了因數、倍數，六年級認識質因數，然後就要學最大公因數、最小公倍數、互質關係等， 能夠做簡單整數的質因數分解，所謂的簡單就是指 100 以下的整數，學生能反應的愈快愈好。 要辨識出質因數分解，幾個基本的質數就應該清楚的認識，譬如說要能夠熟悉 20 以下的質數，學了這些最主要的目的是要幫助分數的運算。 當然，提到質數我們知道有許多有關的數學理論，但一般都相信這不是國小數學的範圍。

  在『能理解乘數為分數的意涵及計算方法』這點下面提了很多相關的例子，這些例子對我們來說都是很清楚的， 但是有一個重要的事情，就是除以五分之三相當於乘以三分之五， 說明裡面寫了好幾個例子提示國小老師及寫教科書的人如何讓學生理解除以分數就是乘以倒過來的分數(倒數)， 到了國中，如果學生還是有這個觀念上的困難，就不要再這樣做，不要再用情境的方式來教他，直接用國中生該熟練的四則運算規則來做這道題目了。 首先要了解除法的意思就是來至於求解方程式，學生都已經知道如果 3x = 6 則 x = 6÷3 ， 接著在等號兩側都乘以三分之一，了解了這件事情之後，就類比到 1/3 x = 6 這種情況， 可以說兩邊都乘以三，也可以說這是要六除以三分之一。

  同樣的『除以三分之一等於乘以三』這個觀念小學時用了傳統的方法教受，為什麼不用我們剛剛寫的方法，不是比較簡單、清楚嗎？ 因為小學生還沒有正式的把等式關係、方程式寫出來，雖然已經有方型空格、三角形、甲、乙、丙、丁來代替未知的數字， 但是畢竟在小學時沒有有系統的處理方程式運算的問題。 在新加坡，小學生不去做除以三分之一、除以二分之五這樣的事情，他們的分數運算只學了分數的加減乘， 國中一年級正式的將方程式寫出來，介紹解方程式的規則，在熟練方程式的運算後，因為方程式的等價關係才引入『除以分數等於乘以倒數』的觀念。 我們台灣在過去十年裡已經形成共識：小學生要用算數的方法來理解這要的問題，而不能用帶數的方法。 舉例來說，一張餅用三分之一張餅當單位的時候，一共有幾個？或是十五個蘋果，拿三分之一個放在一盤子上，總共可以分幾盤？ 這是過去十幾年來發展出來的根深蒂固的情境教法，但是我們常常懷疑許多小學生還是聽不懂的， 所以國中老師一定要確認學生是否有這方面的觀念，如果沒有就要再用國中的方式、形式化的方式再教一次。

• 6-n-04 能用直式處理除數為小數的計算，並解決生活中的問題。

  這也是國一學生可能出現的一大問題，例如 3.24 ÷ 1.2 = 32.4 ÷ 12，也就是先移動小數點，把除數變成整數，這是直式除法時的基本規則， 小學生有可能在這個地方學不好，在 6-n-04 說明的第三點就提出了建議的教學方法，

  • 也可以直接由 6-n-03 著手，例如：3.24 ÷ 1.2 = 324/100 ÷ 12/10 = 324÷12×10 ，並解釋如何將此併入直式計算。

  這是小學畢業生可能有的第二個問題：小數的乘除，國中老師應該早一點確認學生的程度。 講到這邊已經出現了小學生的三大問題，分數的除法、小數的乘除還有質因數分解。

• 6-n-05 能做分數的兩步驟四則混合計算。
• 6-n-06 能理解等量公理。

  然後是能理解等量公理，我們剛剛在演示 6-n-03『除以分數』所寫的就是等量公理，等號兩邊同乘或同除。

• 6-n-07 能認識比和比值，並解決生活中的問題。
• 6-n-08 能理解速度的概念與應用，認識速度的普遍單位及換算，並處理相關的計算問題。
• 6-n-09 能理解正比的現象，並發展正比的概念，解決生活中的問題。

  學生先前已經學了『打折』的問題，現在只是將其更一般的推廣，比例問題國中還會再提一次。 然後是能理解速度的概念與應用，這邊要談的就是等速運動，用我們大學生的說法等速運動就是時間-位置的直線關係，或是說一次方程式，其實就是成比例運動。 6-n-09 仍然在談正比的關係，運用等比的概念求解，解決問題。 綜合7~9這幾個細目重點就是在準備函數的概念，雖然沒有明白的寫出函數。

• 6-n-10 能利用常用的數量關係，列出恰當的算式，進行解題，並檢驗解的合理性。(同 6-a-03)

  此點算是小學數學的集大成，將小學數學數與量方面的學習做一個總整理。

• 6-n-11 能以適當的正方形單位，對曲線圍成的平面區域估算其面積。(同 6-s-03)

  這和微積分的概念是相同的。

• 6-n-12 能理解圓面積與圓周長的公式，並計算簡單的扇形面積。(同 6-s-04)

  仔細看這句話是有問題的，所謂的圓周長公式跟本就是圓周率的定義的改寫，但是我們很難像小學生解釋這件事情， 所以就說這是公式吧，但是我們這些大學生應該要知道。 值得提的是，這也是先前成正比的一個應用，此比值就叫做圓周率，約 3.14。

• 6-n-13 能理解簡單直立柱體的體積為底面積與高的乘積。(同 6-s-06)

  有件有趣的事情，直立的柱體體積是底面積成以高，但是若是斜柱體也是底面積成以高， 這個通常在高中或國中提到，但是其實要用到微積分的概念：同樣高的物體，若是橫節面面積永遠一樣，則兩物體體積相同，這是用微積分積出來的。

幾何

• 6-s-01 能利用幾何形體的性質解決簡單的幾何問題。

  下面有一個大家小學應該都做過的例子，在正方形的裡面畫了兩個四分之一圓，求交集或是交集外面的面積。

  

• 6-s-02 能認識平面圖形放大、縮小對長度、角度與面積的影響，並認識比例尺。
• 6-s-03 能以適當的正方形單位，對曲線圍成的平面區域估算其面積。(同 6-n-11)
• 6-s-04 能理解圓面積與圓周長的公式，並計算簡單的扇形面積。(同 6-n-12)

  用幾分之幾的圓的概念來計算扇型面積。

• 6-s-05 能認識直圓錐、直圓柱與直角柱。

  所謂的直圓柱就是不歪斜的圓柱體、角柱體。

• 6-s-06 能理解間單直立柱體的體積為底面積與高的乘積。(同 6-n-13)

代數

• 6-a-01 能理解等量公理。(同 6-n-06)
• 6-a-02 能使用未知數符號，將其具體情境中的問題列成兩步驟的算式題，並嘗試解題及驗算其解。
• 6-a-03 能利用常用的數量關係，列出恰當的算式，進行解題，並檢驗解的合理性。(同 6-n-10)
• 6-a-04 能在比例的情境或幾何公式中，透過列表的方式認識變數。

  這就是我們先前提到的函數觀念，但在小學不介紹這名詞，只是讓學生體驗、感覺一下。 而所謂的比例情境和幾何公式，譬如說等速運動或是正方形的面積等，用列表的方式呈現自變量與應變量。

• 6-a-05 能用中文簡記事表示圓面積、圓周長與住體的體積公式。

機率與統計

• 6-d-01 能整理生活中的資料，並製成圓形圖。

  先前認識了圓形圖，現在運用扇形面積的概念，將各組百分率換算成圓心角的角度製作圓形圖。

到這邊我們將小學六年的數學唸完了一遍，我們思考一下， 一個收到這些小學畢業的學生的國中一年級的老師，需要檢查、了解學生哪些背景知識？

第一，質數。要能夠熟練質因數分解、最大公因數、最小公倍數的計算，而這些東西就具體的表現在分數的運算，能夠看得出先約分再通分會比較簡單。

第二，除以分數的運算。

第三，除以小數的運算。

第四，知道打折的意思。

第五，回顧基本形(體)的面積(體)積公式。

七年級

數與量

• 7-n-01 能以「正、負」表徵生活中相對的量，並認識負數是性質〈方向，盈虧〉的相反。
• 7-n-02 能認識如 5 及 -5 在數線上的相對位置。

  「負數」對國一新生來說是一個全新的東西，可以說是第一大震撼。 比較可惜的是其實負數的觀念是能夠在國小就讓學生接受的，可以用溫度計的例子來讓學生理解負數的概念，雖然台灣少有零度以下的溫度出現， 但是不同於台灣，年平均溫度差不到十度Ｃ的新加坡就用了這個例子來教小學生。

• 7-n-03 能在數線上判別數的大小。
• 7-n-04 能在數線上操作簡單的描點，如 -3、(-2)+5、(-4)×2 等，並介紹兩點在數線上的間隔。
• 7-n-05 能認識絕對值符號，並理解絕對值在數線上的圖義。
• 7-n-06 能用絕對值的符號表示數線上兩點的間隔(距離)。
• 7-n-07 能運算絕對值並熟練其應用。

  再來第二個震撼就是絕對值，對國中一年級的學生來說絕對值絕對是一個奇怪的東西。 傳統上我們教絕對值會用兩個方式，第一：純粹用計算的方式來教學，第二：也是比較重要的概念，絕對值有長度、距離上的涵義。

• 7-n-08 能判別兩數加、減、乘、除的正負結果並算出其值。

  有了負數的概念，接著就要做加、減、乘、除。馬上學生就要碰到第三個震撼：「負負得正」， 老師在此要能夠用盡各種方法讓學生能了解，我在教自己小孩子的時候用了『鏡射』的方式。

• 7-n-09 能理解質數的意義，並認識 100 以內的質數。
• 7-n-10 能理解因數、質因數、倍數、最大公因數和最小公倍數，並熟練質因數分解的計算方法。
• 7-n-11 能以最大公因數、最小公倍數熟練運用至約分、擴分、最簡分數的計算。
• 7-n-12 能理解負數的特性並熟練數(含小數、分數)的四則運算。

  20以內的質數在小學就已經學過了，在這裡一方面做複習，一方面更擴展到 100 以內的質數。 然後是值式的質因數分解法、最大公因數、最小公倍數的求法，但是並沒有教學生輾轉相除法。 在分數和負數放在一起的時候，要讓學生了解：負號放的位置是沒有關係的，而且負二分之負一等於二分之一。

• 7-n-13 能理解底數為整數且指數為非復整數的運算，如 3² × 3⁴ = 3⁶、(-5)3² = 25、33⁰ = 1等。
• 7-n-14 能理解底數為分屬且指數為非負整數的計算。
• 7-n-15 能用以十為底的指數表達大數或小數(包括入常生活長度、重量、鎔基等單位，如奈米、微米、公分或釐米、公尺或米，...)。

  在這裡學了簡單的指數率。 7-n-15 屬於概數的學習。

• 7-n-16 能理解比例的意義(以實例說明正比、反比關係的意義)。
• 7-n-17 能熟練比例式的基本運算(含 a:b=c:d => a/b=c/d；a:b=c:d => ad=bc； a:b=c:d => a=bk，c=dk；a/b=c/d => ad=bc；a/b=c/d => a=bk，c=dk；比的化簡)。
• 7-n-18 能理解連比和連比例的意義。
• 7-n-19 能熟練連比例是的應用，如單位換算、三角形面積與邊長或圓面積與半徑的變化關係。

  在小學的時候「了解比例的意義」的部份，學生只要會做表就可以了，到了國中就要能夠計算，知道比的符號是能換成比值，也就是分數。

代數

• 7-a-01 能由命題鐘用 x、y 等符號列出生活中的變量，並列成算式。

  x、y 變數首度出現，這其實和先前的方形框框、三角形、甲乙丙丁有同樣的道理， 只是依照孩子的認知發展程度，教育學家認為小學生不應該學這種變數的代號。

• 7-a-02 能嘗試以帶入法或枚舉法求一次方程式的解，並檢驗解的合理性。
• 7-a-03 能熟練符號的代數操作。

  假如 a、b、c 代表三個數，可能是整數、小數、分數，則 a、b、c 的運算應符合交換率、分配率、結合率等基本運算， 這些從小學二年級起就開始接觸的東西，在國一用了符號來代替。

• 7-a-04 能由具體情境中列出一元一次方程式，並理解其解的意義。
• 7-a-05 能以等量公理來解一元一次方程式，並作驗算。
• 7-a-06 能利用移項法則來解一元一次方程式，並作驗算。

  其實移項就是等量公理的快速算法。

• 7-a-07 能由具體情境中列出一元一次方程式。
• 7-a-08 能利用移項法則在數線上找出一元一次不等式的解。
• 7-a-09 能由具體情境中描述一元一次式解的意義。
• 7-a-10 能由具體情境中列出二元一次方程式，並理解其解的意義。

  這就和我們上星期說的一樣，把數學用在生活中、工作中的三個步驟， 第一：把現有的狀況寫成數學模型，第二：在純數學裡解此數學模型，第三：解釋以上所得。

• 7-a-11 能運用直角座標系來標定位置。
• 7-a-12 能認識變數與函數。
• 7-a-13 能舉出力子，說明一次函數是一種特殊的比例對應關係。

  在此說明舉了等速運動、攝氏華氏的溫度轉換兩個例子。

• 7-a-14 能在直角座標平面上描繪一次函數的圖形。
• 7-a-15 能在直角座標平面上描繪二元一次方程式的圖形。

  有些老師在這個地方會先說明此圖形是一條直線，因此在平面上點了兩個點就將直線畫出來。 其實這個地方應該要先畫出好多好多點，讓學生相信這是一條直線，最後才發展出找兩個點畫出一次函數的圖形。 我看到了很多電腦教具在這個地方使用。 在教學的時候要注意，千萬別一股腦地告訴學生結果，要讓學生在核心知識上多停頓一點，才告訴他們簡單的結果做法。

• 7-a-16 能由具體情境中列出二元一次聯立方程式，並能理解其解的意義。
• 7-a-17 能在直角座標平面上認識解二元一次聯立方程式的解。
• 7-a-18 能熟練使用消去法解二元一次聯立方程式。

  先前已經準備好了平面與直線，才發展出解二元一次聯立方程式，這在平面上的意思就是找兩條直線的交點。

七年級數學在此結束了，我們回顧一下七年及到底學了哪些？

數線：數線的形狀上已經大致完整了，雖然實數的完備性、無理數還沒介紹。

鏡射：對於零的鏡射關係。

絕對值：絕對值一直都是讓學生頭痛的東西，可能是心理上還沒辦法接受這樣的符號， 因此國一一開始建議老師們就別出太刁鑽的題目為難學生了，很多東西之後還會再提一次，所以慢慢累積學生的知識就可以了。 國一只要做到一數取決對值、求數線上兩點的距離這兩個概念就可以了。

整數的加減乘除、分數的化簡：因為學了負數，所以所有基本運算要重來講一遍，並且熟練。

抽象代數：將目前為止所學的數學、數的計算規則，用抽象化的符號寫出。

一元一次方程式的列式求解。

二元一次方程式列式求解。

說到這邊，讓我想到一個有趣的問題，別的國家的數學教育花了多少時間從一維數線發展到二維數線？ 就台灣來說，同時在國一完成這件事，我在想若是能有更充分的時間，學生或許會覺得二維空間更自然了。

去年上課試教的時候，很多同學選擇了和平面有關的單元，而且不約而同的想到同一個例子：解釋在平面座標上(2,3)代表什麼意思。 無可厚非的我們都會想給學生依個前置經驗，而這個前置經驗很多人，包括教科書，都有可能用置物櫃、或是地圖來舉例。 但無論是置物櫃還是地圖，這些對應到的東西並不是平面座標，是矩陣， 但又沒對國中生說明矩陣，我們說它是二維表格，如小學提到的功課表、時刻表。 但是這個想法若要換成平面上的點有幾個困難，第一：方向性不同，第二：二為表格對應到的是面積、一個區域，不是點。 所以，當你舉了這幾個類比的例子，很有可能把學生弄得更糊塗了，因此建議同學最好還是不要舉這幾個例子。 至於有什麼其他好例子呢？我們下下星期再說了。