前瞻我國中小學數學教育之課程發展•資料組報告
中國大陸中小學數學課程標準
姜志遠整理
2003 年 11 月 28 日
二、空間與圖形 (第三學段 內容標準)
在本學段中,學生將探索基本圖形(直線形、圓)的基本性質及其相互關係,進一步豐富對空間圖形的認識和感受,學習平移、旋轉、對稱的基本性質,欣賞並體驗變換在現實生活中的廣泛應用,學習運用坐標系確定物體位置的方法,發展空間觀念。
推理與論證的學習從以下幾個方面展開:在探索圖形性質、與他人合作交流等活動過程中,發展合情推理,進一步學習有條理地思考與表達;在積累了一定的活動經驗與掌握了一定的圖形性質的基礎上,從幾個基本的事實出發,證明一些有關三角形、四邊形的基本性質,從而體會證明的必要性,理解證明的基本過程,掌握用綜合法證明的格式,初步感受公理化思想。
在教學中,應注重所學內容與現實生活的聯繫,注重使學生經歷觀察、操作、推理、想像等探索過程;應注重對證明本身的理解,而不追求證明的數量和技巧。證明的要求控制在《標準》所規定的範圍內。
(一) 具體目標
1.圖形的認識
(1) 點、線、面
通過豐富的實例,進一步認識點、線、面(如交通圖上用點表示城市,屏幕上的畫面是由點組成的)。
(2)角
1.通過豐富的實例,進一步認識角。
2.會比較角的大小,能估計一個角的大小,會計算角度的和與差,認識度、分、秒,會進行簡單換算。
3.了解角平分線及其性質【1】
(3)相交線與平行線
1.了解補角、餘角、對頂角,知道等角的餘角相等、等角的補角相等、對頂角相等。
2.了解垂線、垂線段等概念,了解垂線段最短的性質,體會點到直線距離的意義。
3.知道過一點有且僅有一條直線垂直於已知直線,會用三角尺或量角器過一點畫一條直線的垂線。
4.了解線段垂直平分線及其性質【1】 。
5.知道兩直線平行同位角相等,進一步探索平行線的性質。
6.*器D過直線外一點有且僅有一條直線平行於已知直線,會用三角尺和直尺過已知直線外一點畫這條直線的平行線。
7.E曋|兩條平行線之間距離的意義,會度量兩條平行線之間的距離。
(4)三角形
1.了解三�$形有關概念(內角、外角、中線、�*、角平分線),會畫出任意三角形的角平分線、中線和高,了解三角形的穩定性。
2.探索並掌握三角形中位線的性質。
3.了解全等三角形的概念,探索並掌握兩個三角形全等的條件。
4.了解等腰三角形的有關概念,探索並掌握等腰三角形的性質【2】和一個三角形是等腰三角形的條件〔3〕;了解等邊三角形的概念並探索其性質。
5.了解直角三角形的概念,探索並掌握直角三角形的性質〔4〕和一個三角形是直角三角形的條件〔5〕
6.體驗勾股定理的探索過程,會運用勾股定理解決簡單問題;會用勾股定理的逆定理判定直角三角形。
(5)四邊形
1. 探索並了解多邊形的內角和與外角和公式,了解正多邊形的概念。
2. 掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念和性質,了解它們之間的關係 ;了解四邊形的不穩定性。
3.探索並掌握平行四邊形的有關性質〔1〕和四邊形是平行四邊形的條件〔2〕 。
4.探索並掌握矩形、菱形、正方形的有關性質〔3〕和四邊形是矩形、菱形、正方形的條件〔4〕。
5.探索並了解等腰梯形的有關性質〔5〕和四邊形是等腰梯形的條件。〔6〕
6.探索並了解線段、矩形、平行四邊形、三角形的重心及物理意義(如一根均勻木棒、一塊均勻的矩形木板的重心)。
7.通過探索平面圖形的鑲嵌,知道任意一個三角形、四邊形或正六邊形可以鑲嵌平面, 並能運用這幾種圖形進行簡單的鑲嵌設計。
(6)圓
1.理解圓及其有關概念,了解弧、弦、圓心角的關係,探索並了解點與圓、直線與圓以及圓與圓的位置關係。
2.探索圓的性質,了解圓周角與圓心角的關係、直徑所對圓周角的特徵。
3.了解三角形的內心和外心。
4.了解切線的概念,探索切線與過切點的半徑之間的關係;能判定一條直線是否為圓的切線,會過圓上一點畫圓的切線。
5.會計算弧長及扇形的面積,會計算圓錐的側面積和全面積。
(7)尺規作圖
1. 完成以下基本作圖:作一條線段等於已知線段,作一個角等於已知角,作角的平分線,作線段的垂直平分線。
2. 利用基本作圖作三角形:已知三邊作三角形;已知兩邊及其夾角作三角形; 已知兩角及其夾邊作三角形;已知底邊及底邊上的高作等腰三角形。
3. 探索如何過一點、兩點和不在同一直線上的三點作圓。
4. 了解尺規作圖的步驟,對於尺規作圖題,會寫已知、求作和作法(不要求證明)。
(8)視圖與投影
1. 會畫基本幾何體(直棱柱、圓柱、圓錐、球)的三視圖(主視圖、左視圖、俯視圖 ),會判斷簡單物體的三視圖,能根據三視圖描述基本幾何體或實物原型。
2. 了解直棱柱、圓錐的側面展開圖,能根據展開圖判斷和制作立體模型。
3.了解基本幾何體與其三視圖、展開圖(球除外)之間的關係;通過典型實例,知道這種關係在現實生活中的應用(如物體的包裝)。
4.觀察與現實生活有關的圖片(如照片、簡單的模型圖、平面圖、地圖等),了解並欣賞一些有趣的圖形(如雪花曲線、莫比烏斯帶)。
5.通過背景豐富的實例,知道物體的陰影是怎麼形成的,並能根據光線的方向辨認實物的陰影(如在陽光或燈光下,觀察手的陰影或人的身影)。
6.了解視點、視角及盲區的涵義,並能在簡單的平面圖和立體圖中表示。
7.通過實例了解中心投影和平行投影。
2.逾形與變換
(1)圖形的軸對稱
1.通過具體實例認識軸對稱,探索它的基本性質,理解對應點所連的線段被對稱軸垂直平分的性質。
2.能夠按要求作出簡單平面圖形經過一次或兩次軸對稱後的圖形;探索簡單圖形之間的軸對稱關係,並能指出對稱軸。〔參見例1〕
3.探索基本圖形(等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多邊形、圓)的軸對稱性及其相關性質。
4.欣賞現實生活中的軸對稱圖形,結合現實生活中典型實例了解並欣賞物體的鏡面對稱,能利代軸對稱進行圖案設計。
(2)圖形的平移
1.通過具體實例認識平移,探索它的基本性質,理解對應點連線平行且相等的性質。
2.能按要求作出簡單平面圖形平移後的圖形。
3.利用平移進行圖案設計,認識和欣賞平移在現實生活中的應用。
(3)圖形的旋轉
1.通過具體實例認識旋轉,探索它的基本性質,理解對應點到旋轉中心的距離相等、對應點與旋轉中心連線所成的角彼此相等的性質。
2. 了解平行四邊形、圓是中心對稱圖形。
3. 能夠按要求作出簡單平面圖形旋轉后的圖形。
4. 欣賞旋轉在現實生活中的應用。
5. 探索圖形之間的變換關係(軸對稱、平移、旋轉及其組合)。〔參見例2和例3〕
6. 靈活運用軸對稱、平移和旋轉的組合進行圖案設計。
(4) 圖形的相似
1. 了解比例的基本性質,了解線段的比、成比例線段,通過建築、藝術上的實例了解黃金分割。
2. 通過具體實例認識圖形的相似,探索相似圖形的性質,知道相似多邊形的對應角相等,對應邊成比例,面積的比等於對應邊比的平方。
3. 了解兩個三角形相似的概念,探索兩個三角形相似的條件。
4. 了解圖形的位似,能夠利用位似將一個圖形放大或縮小。
5. 通過典型實例觀察和認識現實生活中物體的相似,利用圖形的相似解決一些實際問題(如利用相似測量旗杆的高度)。
6. 通過實例認識銳角三角函數(sinA,cosA,tanA),知道30°,45°, 60°角的三角函數值;會使用計算器由已知銳角求它的三角函數值,由已知三角函數值求它對應的銳角。
7. 運用三角函數解決與直角三角形有關的簡單實際問題。
3.逾形與坐標
(1) 認識並能畫出平面直角坐標系;在給定的直角坐標系中,會根據坐標描出點的位置、 由點的位置寫出它的坐標。〔參見例4〕
(2) 能在方格紙上建立適當的直角坐標系,描述物體的位置。〔參見例5〕
(3) 在同一直角坐標系中,感受圖形變換後點的坐標的變化。〔參見例6〕
(4) 靈活運用不同的方式確定物體的位置。〔參見例7〕
4.圖形與證明
(1)了解證明的含義
1. 理解證明的必要性。
2. 通過具體的例子,了解定義、命題、定理的含義,會區分命題的條件(題設)和結論。
3. 結合具體例子,了解逆命題的概念,會識別兩個互逆命題,並知道原命題成立其逆命題不一定成立。
4. 通過具體的例子理解反例的作用,知道利用反例可以證明一個命題是錯誤的。
5. 通過實例,體會反證法的含義。
6. 掌握用綜合法證明的格式,體會證明的過程要步步有據。
(2)掌握以下基本事實,作為證明的依據
1. 一條直線截兩條平行直線所得的同位角相等。
2. 兩條直線被第三條直線所截,若同位角相等,那麼這兩條直線平行。
3. 若兩個三角形的兩邊及其夾角(或兩角及其夾邊,或三邊)分別相等,則這兩個三角形全等。
4. 全等三角形的對應邊、對應角分別相等。
(3)利用(2)中的基本事實證明下列
命題〔1〕1
1. 平行線的性質定理(內錯角相等、同旁內角互補)和判定定理(內錯角相等或同旁內角互補,則兩直線平行)。
2. 三角形的內角和定理及推論(三角形的外角等於不相鄰的兩內角的和,三角形的外角大於任何一個和它不相鄰的內角)。
3. 直角三角形全等的判定定理。
4. 角平分線性質定理及逆定理;三角形的三條角平分線交於一點(內心)。
5. 垂直平分線性質定理及逆定理;三角形的三邊的垂直平分線交於一點(外心)。
6. 三角形中位線定理。
7. 等腰三角形、等邊三角形、直角三角形的性質和判定定理。
8. 平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性質和判定定理。
(4)通過對歐幾里得《原本》的介紹,感受幾何的演繹體系對數學發展和人類文明的價值
(二) 案例
例1 以樹幹為對稱軸,畫出樹的另一半。
例2 請說出下面乙樹是怎樣由甲樹變換得到的。
例3 觀察下面的圖案,它可以看成是由哪個圖形經過怎樣的變換產生的?
例4 在坐標系中描出下列各點,並將各組的點順次連接起來:
1. (2,0),(4,0),(6,2),(6,6),(5,8),(4,6),
(2,6),(1,8),(0,6),(0,2),(2,0);
2. (1,3),(2,2),(4,2),(5,3);
3. (1,4),(2,4),(2,5),(1,5),(1,4);
4 (4,4),(5,4),(5,5),(4,5),(4!A4);
5. (3,3)。"r>
觀察這個圖形,你覺得它像什麼?
例5 下圖是某市旅遊景點的示意圖。試建立直角坐標系,用坐標表示各個景點的位置:
例6 如圖所示,在直角坐標系下,圖1中的圖案「A」經過變換分別變成圖2至圖6中的相應圖案(虛線對應於原圖案),試寫出圖2至圖6中各頂點的坐標,探索每次變換前後圖案發生了什麼變化、對應點的坐標之間有什麼關係。
例7 張堅在某市動物園的大門口看到這個動物園的平面示意圖(如下圖)。試借助刻度尺、量角器解決如下問題:
(1)建立適當的直角坐標系,用坐標表示猴山、駝峰、百鳥園的位置;
(2)填空:
百鳥園在大門的北偏東 度的方向上,到大門的圖上距離約為 厘米;
熊貓館在大門的北偏 度的方向上,到大門的圖上距離約為 厘米;
駝峰在大門的南偏 度的方向上,到大門的圖上距離約為 厘米。
說明 本題旨在讓學生體會除用直角坐標系描述物體的位置外,還可以選定某個參照物和某個方向,用距離和角度來刻畫物體的位置。