教材為學生的學習活動提供了基本線索,是實現課程目標、實施教學的重要資源。教材編寫應以《標準》為依據,所選擇的素材應盡量來源於自然、社會與科學中的現象和實際問題,應當反映一定的數學價值,能夠表現出不同內容之間的相互聯繫。教材內容的編排和呈現要突出知識的形成與應用過程;應引導學生從已有的知識和經驗出發,進行自主探索與合作交流,並在學習過程中逐步學會學習;應關注對學生人文精神的培養。教材的編寫還要有利於調動教師的主動性和積極性,鼓勵教師進行創造性教學。重要的數學概念與數學思想的呈現應體現螺旋上昇的原則,逐步加深學生對數學知識、思想和方法的理解。
考慮到不同學生之間的差異,在貫徹《標準》的基本理念和保證《標準》規定的基本要求的前提下,教材編寫應體現出自己的風格和特色,並具有一定的彈性。教材編寫時,應充分考慮與其他課程資源的開發和利用相結合。
(一) 選取自然、社會與其他學科中的素材
本學段學生的活動空間比第一、二學段有了較大的擴展,學生感興趣的問題已拓廣到客觀世界的許多方面,他們逐漸關注來源於自然、社會與其他學科中更為廣泛的現象和問題,對具有一定挑戰性的內容表現出更大的興趣。教材所選擇的素材應盡量來源於自然、社會與科學中的現象和問題,應當反映一定的數學價值。
例如,對於統計與機率的內容,在教材編寫時應提供足夠的現代社會生活中的實例。既可以從報刊雜誌、電視廣播、電腦網絡等方面尋找素材,也可以從學生的生活實際中提取他們感興趣的問題,如對學校周圍道路交通狀況(運輸量、車輛數、堵塞情況、交通事故等)的調查、對本地資源與環境的調查、對自己所喜愛的體育比賽的研究、討論歌手大賽中為什麼要去掉一個最高分和最低分、討論有獎銷售等問題。這樣的素材能引導學生更多地琥眼於對實際問題�:探索,理解概念的實際意義,在學習數學的同時更好地認識現實世界。
例1 調查學校附近一個人行道的人流情況,你能就這個人行道的安全性和便利性提出改進意見嗎?設計一個調查方案,然後分組進行調查,並在全班交流各組的調查報告。0>
(二) �9學生提供探索與交流的空間
本學段的學生獨北思考和探索的願望和能力有所提高,並能在探索的過程中形成自己的觀點,能在傾聽別人意見的過程中逐漸完善自己的想法。屜材編寫時應注意齦現這個特點,提供充分探索與交流的空間,使學生進一步經歷觀察、實驗、猜測、推理、交流、反思等活動。
教材可以設置具有挑戰性的問題情境,激發學生進行思考;提出具有一定跨度的問題串引導學生進行自主探索;通過「與同學交流你的想法」等語言鼓勵學生進行交流;提供一些開放性(在問題的條件、結論、解題策略或應用等方面具有一定的開放程度)的問題,使學生在探索的過程中進一步理解所學的知識;適當提供需要學生合作交流來解決問題的活動,如設置探究課題、社會調查等,使學生經歷多角度認識問題、多種形式表現問題、多種策略思考問題、嘗試解釋不同答案合理性的活動,以發展其創新意識和實踐能力;提出一些問題,引導學生對學習過程進行監控和反思。
這個例子通過設置問題串,使學生經歷了根據特例進行歸納、建立猜想、用數學符號表示,並給出證明這一重要的數學探索過程。
學生空間觀念的培養、推理能力的發展、對圖形美的感受等都建立在經歷觀察、操作、猜測 、推理、交流等活動的基礎上,教材要充分展現這些過程。例如,在安排軸對稱內容時,教材可以呈現徽標、楓葉、雪花等多種圖案讓學生觀察;探索一些圖案中蘊涵的軸對稱關係; 提供根據軸對稱進行圖案設計的活動;通過閱讀材料等,介紹相關的一些科學道理(如飛機、輪船的對稱能使飛機、輪船在航行中保持平衡;建築上的對稱多半是為了美觀,但有時也考慮到使用上的方便和受力平衡等問題);利用對稱解決一些有趣的問題。
例3 某汽車的車牌倒映在水中,你能根據水中的影子確定該車的牌照號碼嗎?
在學習基本圖形基本性質的證明時,教材要設計一系列問題使學生認識到證明的必要性,探索證明的思路,體驗證明的過程要步步有據。
(三) 體現數學知識的形成與應用過程
本學段的教材應體現從具體的問題情境中抽象出數學問題、使用各種數學語言表達問題、建立數學關係式、獲得合理的解答、理解並掌握相應的數學知識與技能的有意義的學習過程。教材中學習素材的呈現力求體現「問題情境-建立數學模型-解釋、應用與拓展」的模式,圍繞所要學習的數學主題,選擇有現實意義的、對學生具有一定挑戰性的、能夠表現重要數學意義、有利於學生一般能力發展的內容,使學生在自主探索和合作交流的過程中建立並求解包含該主題的數學模型,判斷解的合理性並將所學的主題應用到其他場合,進而獲得相應的數學知識、方法與技能,為有需要的學生提供進一步了解該主題的途徑。通過上述的過程, 學生將逐步掌握基本的數學知識和方法,形成良好的數學思維習慣和應用意識,提高自己解決問題的能力,感受數學創造的樂趣,增進學好數學的信心,獲得對數學較為全面的體驗與理解。
例如,在數與代數中,學生將學習方程、不等式、函數等內容,它們是研究現實世界數量關係和變化規律的重要數學模型,可以幫助人們從數量關係的角度更準確、清晰地描述和把握現實世界,編寫上述內容的教材時,要體現出數學建模的過程。如教材可以從生活中常見的“梯子問題”出發,引導學生進行討論,獲得「一元二次方程」的模型和近似解:
沖4 一個長為10米的梯子斜靠在牆上,梯子的頂端距地面的垂直距離為8公尺。如果梯子的頂端下滑1公尺,那麼
1虴鬙i以再提供一些具體問題中的數量關係,使學生列出有關的一元二次方程,並經歷探索滿足方程解的過程,進而產生學習方程一般解法的願望。在學習了一元二次方程的一般解法後,教材除了要回顧上述的「梯子問�D」外,還可以設立下面的開放性問題:
例5 在一個長為50公尺、寬為30公尺的矩形空地上建造一個花園,要求種植花草的面積是整塊空地面積的一半,請展示你的設計。0>
這個問題的參與性很強,每個學生都可以展開想像的翅膀,按照自己思考的設計原則,設計出不同的圖案,並盡量使自己的方案定量化,在一些方案的定量化過程中,學生可以體會到一元二次方程在處理數量關係上的作用,認識到解一元二次方程不是一個機械的計算,得到的結果必須對具體情況是有意義的,需要恰當地選擇解和檢驗解。
(四) 呈現形式要豐富多彩
本學段的學生主要借助字母、圖形、文字等多種材料從事數學活動。教材呈現形式應多樣化,可以將實物照片、素描、文字、表格、圖形、字母等多種形式結合起來,使學生積極、主動地參與整個學習過程,加深對所學內容數學意義的理解。如用場景圖、實物照片等呈現問題情境,也可以編排一些有趣的閱讀材料,還可以安排多種活動(操作、實驗、調查等),使學生的數學學習密切聯繫現實世界。素材還應蘊涵豐富的數學思想,使學生在學習過程中發現其中的數學內涵。如為了加深對乘方的理解,教材可以提供生物學中細胞分裂的實例,呈現時可以用細胞分裂圖來展示細胞分裂的過程: 每個細胞每次分裂為2個,2個又分裂成4個,如此下去就構成了1,2,4,8,…這樣一組數。這既提高了學生學習數學的興趣,了解了數學在其他學科中的應用,又加深了對所學知識的理解。
豐富多彩的圖形是空間與圖形部分的重要學習素材,教材應做到圖片與啟發性問題相結合,圖形與必要的文字相結合,計算與推理相結合,數和形相結合,充分發揮圖形直觀的作用,使教材圖文並茂,富有啟發性。
函數是數與代數中的重要內容,函數有多種表示形式(表格、圖象、表達式、語言),教材要提供多種形式表示函數的例子,從多種角度來認識一次函數、二次函數、反比例函數的意義,以加深學生對函數思想的理解。
(五) 內容設計要有一定的彈性
一方面,教材要按照《標準》中指出的要求,保證學生基礎知識和基本技能的獲得與一定的訓練;另一方面,考慮到學生發展的差異和各地區發展的不平衡性,教材在保證基本要求的前提下,要體現一定的彈性,滿足學生的不同需求,使全體學生都能得到相應的發展,同時便於教師發揮創造性。具體的設計方式可以是就同一問題情境提出不同層次的問題或開放性問題,以使不同的學生得到不同的發展;提供一定的閱讀材料供學生選擇閱讀;課後習題的選擇與編排應突出層次性,可以設置鞏固性練習、拓展性練習、探索性問題等多種層次;在設計課題學習時,所選擇的課題要使所有的學生都能參與,在全體學生獲得必要發展的前提下,不同的學生可以獲得不同的體驗;教材可以編入一些拓寬知識的選學內容,但增加的內容應注重數學思想方法,注重學生的發展,有利於學生認識數學的本質與作用,增強對數學的學習興趣,而不應該片面追求解題的難度、技巧和速度。
教材可以通過設計具體課題和閱讀材料等形式引入電腦、函數計算器等教育技術供有條件的學生選擇使用,使學生將更多的精力投入到有意義的探索性活動中去。如可以探索一些數量關係、函數的性質、圖形的性質;可以做一個圖形經過軸對稱、平移、旋轉後的圖形 ;可以利用坐標進行作圖,可以從事圖案的設計;可以展示豐富多彩的幾何圖形,可以探索圖形的變化規律等;還可以收集資料、處理資料、模擬機率實驗等。
(六) 重要的數學概念與數學思想宜體現螺旋上昇的原則
《標準》中提供的是第三學段最終應達到的目標,根據學生的年齡特徵、認知規律與知識特點,在教材編寫時,重要的數學概念與思想方法的學習可以遵循逐級遞進、螺旋上昇的原則,但要避免不必要的重複。
例如,前兩個學段的教材已經滲透了函數的思想,本學段將出現函數的概念。學生對函數概念的理解也有一個逐步發展的過程,教材對函數內容的編排應體現螺旋上昇的、不斷深化的過程,而不宜集中一次學完,這樣有利於學生不斷加深對函數思想的理解。又如,在各范年級、各個領域中都應設計推理和魎明的內容,可以按照提出佐證、說理和證明等層次逐步展開。
(七) 重視知識之間的聯繫與綜合
教材要關注數學知識之間的聯繫,這包括同一領域內容之間的相互連接,也包括選擇若干具體內容,體現數與代數、空間與圖形、統計與機率之間的實質性關聯,展示數學的整體性;教材還應關注數學與現實世界、與其他學科之間的聯繫。
例如,對於統計與機率的內容,教材應重視滲透統計與機率之間的聯繫,通過頻率來估計事件的機率,通過樣本的有關資料對總體的可能性作出估計等。教材還應將統計與機率和其他領域的內容聯繫起來,從統計與機率的角度為他們提供問題情境,在解決統計與機率問題時自然地使用其他領域的知識和方法,為培養學生綜合運用知識解決問題提供機會。
對於數與代數的內容,教材要重視有關內容的幾何背景,運用幾何直觀幫助學生理解、解決有關代數問題。如,根據平面規則點陣中點的排列規律推導相應的整數列的和(如1+3+5+7+…可表示為正方形點陣);利用圖形理解完全平方公式、平方差公式等恆等式;利用函數圖象理解函數的變化趨勢。
本學段的課題學習將更多體現活動的探索性和研究性,更多地把數學與社會生活和其他學科知識聯繫起來,使學生進一步體會不同的數學知識以及數學與外界之間的聯繫,初步學習研究問題的方法,提高學生的實踐能力和創新意識。課題學習的內容不一定在課內完成,教材可以設計一些活動,鼓勵學生利用課外時間從事搜集資料、進行調查等活動。
(八) 介紹有關的數學背景知識
在對數學內容的學習過程中,教材中應當包含一些輔助材料,如史料、進一步研究的問題、數學家介紹、背景材料等,還可以介紹數學在現代生活中的廣泛應用(如建築、電腦科學、遙感、CT技術、天氣預報等),這樣不僅可以使學生對數學的發展過程有所了解,激發學生學習數學的興趣,還可以使學生體會數學在人類發展歷史中的作用和價值。輔助材料可以以閱讀材料等形式出現。
在數與代數部分,可以穿插介紹代數及代數語言的歷史,並將促成代數興起與發展的重要人物和有關史跡的圖片呈現在學生的面前,也可以介紹一些有關正負數和無理數的歷史、一些重要符號的起源與演變、與方程及其解法有關的材料(如《九章算術》、秦九韶法)、函數概念的起源、發展與演變等內容。
在空間與圖形部分,可以通過以下線索向學生介紹有關的數學背景知識:介紹歐幾里得《原本》,使學生初步感受幾何演繹體系對數學發展和人類文明的價值;介紹勾股定理的幾個著名證法(如歐幾里得證法、趙爽證法等)及其有關的一些著名問題,使學生感受數學證明的靈活、優美與精巧,感受勾股定理的豐富文化內涵;介紹機器證明的有關內容及我國數學家的突出貢獻;簡要介紹圓周率π的歷史,使學生領略與π有關的方法、數值、公式、性質的歷史內涵和現代價值(如π值精確計算已經成為評價電腦性能的最佳方法之一);結合有關教學內容介紹古希臘及中國古代的割圓術,使學生初步感受數學的逼近思想以及數學在不同文化背景下的內涵;作為數學欣賞,介紹尺規作圖與幾何三大難題、黃金分割、哥尼斯堡七橋問題等專題,使學生感受其中的數學思想方法,領略數學命題和數學方法的美學價值。
在統計與機率部分,可以介紹一些有關機率論的起源、擲硬幣試驗、布豐(Buffon)投針問題與幾何機率等歷史事實,統計與機率在密碼學等方面的應用,這樣可以使學生對人類把握隨機現象的歷程有一個了解,對於學生進一步學習與發展有一定的激勵作用。
Created: 姜志遠 (2003/11/28)
Last Revised: 2004/03/20 (單)