新加坡小學數學教育簡介

單維彰‧翁婉珣

2006-03-15

制度簡介

新加坡學校制度是承襲英國教育制度再加以改革而成，1979年頒布新的學制，為現行學制的基礎，1991年再次修訂，將小學三年級結束後的分級延後至四年級，其餘大致不變。2003年開始執行十年義務教育，包含小學6年，中學4年，以往單純只是由政府補助而非法定的義務教育。新加坡於90年代末期大力推動資訊教育，引進了融合教育與科技的教學方式，試圖激發學生的抽象考與創新的能力。

   初等教育（Primary Education）亦即小學，小學自六歲開始，為期六年，主要教學科目為：英文、數學及母語。新加坡把小學又分成兩個階段。一至四年級稱為奠定基礎階段 (Foundation Stage)。奠基階段的重點在英語、母語及數學能力的培養，另有音樂、工藝、公民與道德、健康教育、社會學科及體育等課程。五至六年級則稱為定向階段 (Orientation Stage)。在小學四年級結束前，學校會依據學生的學習能力，將他們分成三種不同的語文分流課程--EM1, EM2和EM3。EM1及EM2同樣都教英語、母語、數學及科學，但EM1學習較深的母語，EM3則學習較基礎的英語、母語及數學。

    小學六年級結束前，學生都要參加小學離校考試 (Primary School Leaving Examination－PSLE)，以便鑑定孩子的學習能力，把他們分配到適合的中學課程就讀。

    新加坡將一學年分為四學期 (terms，每學期有 10 週，每年一月初起是第一學期，所以學年與日曆年同步。第一、二學期間，三、四學期間，各休息一週。二、三學期間大約休息四週。第四學期後大約休息六週。

    在課時方面，全年上課 40 週，每週五天。小學每節課 30 分鐘，每天十節。因為新加坡的教育官方網站並沒有課時方面的資訊，我們在網路上找到 Anderson Primary School和Chua Chu Kang Primary School的實際課表，整理出來小學之授課節數如下表。

    

數學綱要的理念

新加坡數學教育目的是使學生能夠達到以下目標：

1. 獲得並且應用生活中所碰到關於數、測量和數學情境空間之技能與知識
2. 獲得為在數學和其他學科方面的深造所必要的數學概念和技能
3. 發展邏輯演繹和歸納的能力，透過數學問題的解決解釋他們的數學思考和推理技能
4. 確切、簡明且合乎邏輯地使用數學語言傳達數學想法和論證。
5. 發展對於數學的積極態度，包含信心、樂趣與毅力。
6. 欣賞數學的威力與結構，包含樣式與關係，並加強學生的智能上的好奇心。

    本文據以考察的新加坡數學教科書，是2003年Times Media公司出版的My Pals are Here! Maths 叢書，全套共12冊。我們觀察到，此套叢書落實上述第4目標的方法，是讓學生在課堂活動或獨立練習中，以話語或文句回答問題，或者針對某些數據和預先示範過的題型，創造自己的文字情境題。特別是在資料處理的單元內，學生被指派了許多說明與展示的課業。

    新加坡2001年數學綱要畫出一個五邊形架構，以「數學解題」作為核心，周圍放置了五個教育與發展的面向：觀念、程序、技能、態度和後設認知。

    新加坡綱要中將「題目」分成三個層次：第一層為最基本的、要求在合理的短時間內完成的例行性問題，第二層是非例行、樣式較奇怪的問題，第三層是開放性問題，除了不熟悉外，可能是沒有標準答案、需要探索與研究的問題。小學階段大部分是屬於第一層次，中學開始引入第二和第三層次。但是即使是小一的教科書，就已經在每一個單元以比較具有挑戰性的「想想看」作為結束。

    教育心理學的理論指出，「學生需要了解什麼才能解數學問題？」這個問題的答案包含了四個成分：語言及事實知識用來幫助學生把問題的每一個句子轉譯成內在表徵，基模知識用來幫助學生把資料加以整合使成為連貫一致的表徵，策略知識用來幫助學生想出和監控解題計畫，程序性知識用來幫助學生執行解題計畫中所需的演算。新加坡數學課程架構的五個面向，即涵蓋了理論所述的四個成分。以下分別介紹這五個面向。

觀念

這一個面向對應台灣的內容主題，新加坡將其分成數值、幾何、代數、統計四大類。代數這一項從小六才開始正式列出，因為新加坡談的代數更形式些，須提到未知數、變數與方程式才將之視為代數。但觀察新加坡綱要內容，小一在整數部分便已出現3 + □ = 12這樣一個式子，雖然未強調符號類化與未知數之想法，但已間接為代數做了鋪陳。

    新加坡與我們相同的是小一都有統計，不同的是台灣只要求學生做初步的分類與表格製作與說明，而新加坡除了分類與表格製造外，更進一步明確要求讀懂並解釋圖表，是項更有意義的學習，值得我們參考。

    四則運算是小學教育的最大主題。新加坡一到五年級藉由控制位數，格外細緻地安排整數、分數、小數的階段性運算學習。以整數部分為例來看其進展：小一是安排100以內的加減，40以內的乘法，除數不大於20的除法。小二是三位數以內的加減，2, 3, 4, 5, 10等數的乘除；觀察其教科書的呈現方式，此時的教學重點之一是發展位值概念。小三是四位數以內的加減，完整的提出10×10 乘法表，三位數乘或除以一位數。小四是四位數乘以一位數，三位數乘以兩位數，四位數除以一位數或10。小五是四位數乘或除以二位數。

    新加坡在小一後半學期就把加減乘除一起提出，小一的除法是配合圖像使用均分的概念來解說。正式引入 ÷ 符號是在二年級。綱要並沒有言明直式計算的規定，教科書是在二年級開始三位數的直式加減，三年級出現乘除的直式運算。

    由此精心的安排，看出新加坡極注重訓練小學生的基礎計算能力，除了動筆運算外，從二年級開始培養心算能力 (mental calculations)，讓學生在初始階段紮實地打好最基本的運算能力，以期達到自動化地執行算術及代數程序。

    綱要中建議教科書採取「螺旋式」安排；此種教學設計的重點，在於轉回原地時，應提供相當有意義有高度的提升。人的學習過程並不總是直線前進，尤其是數學科，經常要需要回顧，來回跳躍，舊有的經驗可以幫助我們學習新的事物，架構在這樣的基礎上可以提高學習的紮實性。考察其教科書，的確幾乎在每一個學習單元之初，都有複習性質的「暖身運動」，從過去已知的觀念或技能開始，然後教導新的觀念或技能。而同樣的觀念或技能也一再地以不同的深度或難度重複出現，這個設計在整數四則運算的教學安排中表現得非常明顯。

技能

技能方面，除了我們所熟知的加減乘除、代數操作與處理資料能力以外，新加坡特別強調「估算與心算」能力，要求在合理的時間內完成這基本的計算。估算是從小四才開始的，小四前著重在基本的精確計算能力，因為它是估算的基礎。

程序

此處所謂的程序分成兩項：(1) 將思考技術放入數學課來學習，(2) 策略知識（Heuristics），或稱為捷思法。

    所謂的思考技術包含：分類─使用適當的歸因來做分類、組織、歸類資訊；比較─使用一般的歸因並透過多套的訊息來區別共同性與差異性；排序─透過可量化的值，安置項目於一分級的順序中；個體與整體的分析─辦認並清楚說明形成整體的部分；指出樣式或關係─在產生一個可信賴或可重複之計畫的一種關係裡，認出在兩個或更多屬性之間的具體變化量；歸納─從聚集的線索描繪出普遍的結論；演繹─從給予的歸納推論各種特殊情形或例子；圖表化（空間想像 Spatial Visualisation）─想像一個情境或物體，並在內心操作關於問題解決的不同選擇。

    所謂的捷思法則提供以下建議：算算看，使用圖表，做一有系統的列表，尋找樣式，知道結果後倒推回去，使用前後概念，猜猜看並檢驗，做假設，設法把問題換一形式，簡化問題和做特殊解。

態度

指出數學學習上的情感觀點。包括享受數學，欣賞數學的美與威力，在使用數學上展示信心和問題解決的堅持。

後設認知

在認知心理學方面，新加坡不提建構論，而強調後設認知，並且解釋其所謂的「後設認知」表現在以下三種具體行為上。第一種是當學生解題時，要持續且有意識地監控著他自己的思考程序與策略，這是後設認知很標準的一個解釋。第二種在整個解題的思維當中，隨時去尋找是否還有另類的、其他可能性，來達成同一個目標。第三種是在解題完成後，檢查答案是否合理？是否適當？

課程設計舉隅

以下我們分幾個主題，介紹新加坡小學階段數學課程的特點。

幾何圖形和樣式

從小一就開始用圖形的形狀、顏色與大小等屬性來設計樣式 (pattern)，小二則提高了二維思維度上之複雜性，例如增加方向性，並同時使用任兩個屬性來做樣式規則。樣式的練習一直持續到高年級，我們相信它是數學規律和函數的前置經驗。此外，因為小二已經教導「等分」，接著將此概念融入圓形圖，特別提出半圓和四分之一圓的認識，而這兩種圓又成為平角和直角的前置經驗。

分數與小數

新加坡的分數學習是從小二開始，進展速度緩慢。二年級內容為等分、同分母分數的比較與排序；三年級內容為了解相等的分數，也就是基本的擴分與約分，異分母的比較與排序；四年級內容為同分母分數的加減，分數乘以整數；五年級為更複雜的加減乘運算，並引入分數除以整數。至於小數的學習則是從小四開始，進展速度較快速，一開始就安排三位小數，同時談到估算。

    新加坡不在小學教導由分數或小數作為除數的計算，而是安排在七年級解方程式的時候才引出，如求解 。這時候不必絞盡腦汁在小學階段說明其動機，而成為求解形式的一個自然推廣。

量感

不論是長度、重量 (新加坡講質量Mass)和面積，新加坡都很快帶過直接比較的過程，而使用迴紋針、橡皮擦、手扎等物件當作單位來進行測量。而且每一種量的教學都強調量感的訓練，不會讓這些單元的學習流為單位換算這一類的簡單算術。在面積的各種單位之教學與換算方面，新加坡是在三年級一次講完，他們可能認為「面積」是一個單一概念，不需使用到螺旋式教學；而單位之間的換算，只是簡單的算術應用，學生已經在其他數學學習單元中掌握了。

圓周率

對於的近似值，日本的數學教育曾爭議要使用3還是3.14，台灣則明確使用3.14。新加坡很特別，直接使用有理數作為的估計值。這是阿基米德的估計，也是祖沖之的『疏率』。

計算器、計算機與電腦軟體

從小一開始，教科書裡面就有配合電腦軟體 (IT: Information Technology) 的操作或活動或遊戲。看起來這些軟體會隨著教科書發送給學校或甚至學生。但是這些電腦軟體看來並非教學輔助材料，而是讓學生親手操作的遊戲居多。還有一些軟體之目的看來是要協助學生「以數學語言溝通或表達」。

    新加坡並不避諱在數學課堂上使用計算器；事實上，計算器被整合在數學教育裡面。在各種等級的國家考試上，也都明確規定考生必須自備計算器，而每一級考試都對於准許和不准許使用的計算器功能做了詳細的規範。新加坡與英國類似，指出計算器的學習指導要領，包含兩個能力。第一，學生要有能力憑著心算和估算，來估計從計算機算出的真確答案是否合理。綱要中說，例如47600/85應為六百多，而不會是六千多。第二，學生要能根據目前的狀況，決定應該要從計算器的答案中取出幾位有效數字當作答案。例如談汽車的速率（每小時幾公里），若要計算到小數點以下第五位就太荒唐了。

分流課程

根據2001年這份數學綱要，新加坡的小學生在一到四年級採用全國統一的課程標準，但是在五年級開始分流。分流之後的學生，採用不同的數學綱要。學習進度較慢的學生，在分流之後的課程多半是複習三、四年級的內容，用稍快的步調以及更適合其年齡的方式，補強他們過去該學會而可能掌握得不太好的課題。這是一種非常務實的作法：既然小學的數學教育被認為是國民教育，也就是幾乎每個國民將來在社會中正常運作所共同需要的基本知能，那麼就不應該放任其失學而結業。就算學不會比較艱深的數學，至少該補足較基本的數學能力。

    有些新加坡的教育學者認為，分流的制度不但能提高教師的教學效率，提高課堂的學習效率，其實還能維持更多學生對於學習數學的信心和興趣。就新加坡小四和中二學生在TIMSS2003國際調查的表現來看，前述看法似乎有所依據。