微積分拾級（二）自我檢測

反函數的微分

1. 令 \(f(x)=2x-1\)，以下何者為 \([f^{-1}(x)]\prime\)？
   (1) \(\displaystyle\frac12\)
   (2) \(-2\)
   (3) \(\displaystyle\frac12 x+1\)
   (4) \(1-2x\)

2. 令 \(f(x)=x^3-2\)，以下何者為 \(\displaystyle{d\over dx}f^{-1}\) 在 \(x=6\) 處的值？ 〔提示：\(f^{-1}(6)\) 的值是 \(f(x)=x^3-2=6\) 的解。〕
   (1) 12
   (2) 108
   (3) \(\displaystyle{1\over12}\)
   (4) \(\displaystyle{1\over108}\)

3. 令 \(f(x)=2x^2\)，其中 \(x\geq0\)。 以下何者為 \(f^{-1}(x)\) 在 \(x=f(5)\) 處的導數？
   (1) \(\displaystyle{1\over20}\)
   (2) \(\displaystyle{1\over200}\)
   (3) \(\displaystyle{1\over5\sqrt2}\)
   (4) \(\displaystyle{1\over2\sqrt{10}}\)

4. 令 \(f(x)=x^3-3x^2-1\)，其中 \(x\geq2\)。 以下何者為 \(y=f^{-1}(x)\) 在 \((-1,3)\) 的切線斜率？
   (1) \(\displaystyle{1\over9}\)
   (2) \(\displaystyle{1\over45}\)
   (3) \(-\displaystyle{1\over3}\)
   (4) \(-\displaystyle{1\over5}\)

5. 設 \(f(x)\) 是一對一的可微函數，且其圖形通過原點。 若 \(f(x)\) 在 \(x=0\) 處的切線斜率為 2， 以下敘述何者正確？
   (1) \(f^{-1}(x)\) 不一定存在
   (2) \(f^{-1}(x)\) 存在，但不一定通過原點
   (3) \(f^{-1}(x)\) 通過原點，但不一定可微
   (4) \(f^{-1}(x)\) 可微，且其通過原點的切線斜率為 \(\displaystyle{1\over2}\)