微積分拾級（二）自我檢測

無窮大比大小

1. 令 \(f(x)\) 與 \(g(x)\) 皆為正值函數，且當 \(x\to\infty\) 時， 它們都發散到 \(\infty\)。當我們說「\(f\) 發散得比 \(g\) 快」， 意思是以下哪些狀況？（答案可能不只一個）
   (1) \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}{f(x)\over g(x)}=0\)     (2) \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}{f(x)\over g(x)}=\infty\)     (3) \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}{g(x)\over f(x)}=0\)     (4) \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}{g(x)\over f(x)}=\infty\)

2. 令 \(f(x)\) 與 \(g(x)\) 皆為正值函數，且當 \(x\to\infty\) 時， 它們都發散到 \(\infty\)。當我們說「\(f\) 發散得比 \(g\) 快」， 意思是以下哪些狀況？（答案可能不只一個）
   (1) \(f(x)=o(g(x))\)
   (2) \(g(x)=o(f(x))\)
   (3) \(f(x)=O(g(x))\)
   (4) \(g(x)=O(f(x))\)

3. 以下哪些函數發散到 \(\infty\) 的速度跟 \(x^2\)「不一樣快」？ （答案可能不只一個）
   (1) \(x^2+4x\)
   (2) \((x+5)^2\)
   (3) \(\sqrt{x^4+x^3}\)
   (4) \(x\ln x\)

4. 以下敘述哪些正確？（答案可能不只一個）
   (1) \(3x^2-2x+1=o(e^x)\)
   (2) \(e^x=o(3x^2-2x+1)\)
   (3) \(3x^2-2x+1=O(e^x)\)
   (4) \(e^x=O(3x^2-2x+1)\)

5. 以下敘述哪些正確？（答案可能不只一個）
   (1) \(\sqrt x=o(\ln x)\)
   (2) \(\ln x=o(\sqrt x)\)
   (3) \(\sqrt x=O(\ln x)\)
   (4) \(\ln x=O(\sqrt x)\)