數學素養教育

學習 log 不是為了鍛鍊邏輯能力

西元 2020 年 8 月初，在 Facebook 的「中學數學討論區」爆發一則熱門話題。 一位數學老師出了些 log 的練習題，引發了議論。 他先大方承認「高中數學沒用」（但是有人留言說它「考試必考」）， 然後說：學習這些數學的意義是「獨立思考」和「邏輯能力」。

拜託請不要再這樣說了。

請不要再用「邏輯」、「思考」當作學習數學的理由了。 學習數學就是因為「數學有用」而且我們「需要數學」。

早在民國 98 年，李國偉教授就曾在「高中數學種子教師」的研習裡問大家： 「當我們說數學可以訓練邏輯，如果有別人說程式設計更能訓練邏輯，我們該如何回答？」

難道就只有數學能訓練「獨立思考」和「邏輯能力」嗎？ 難道物理不行？難道歷史不行？難道英文閱讀不行？當然這些學科都行。 既然大家都行，如果學生上學的目的是提昇自己的「思考與邏輯」能力， 他想必有更直接、更有效率、甚至更有趣的途徑（例如程式設計）， 為什麼要忍受煩悶的數學？

另一方面，學習 A 可以鍛鍊 B 的這種想法，已經確定是教育心理學的「迷思概念」了。 如果妳要鍛鍊 B 你就鍛鍊 B，沒有那種「種豆而得瓜」的事。 （類似的，還有多少人相信「吃鞭補陽」的說法？）

以「對數」為例，它的原始價值，也就是它「誕生的理由」， 是為了化簡多位數（例如六位數）的乘除與次方計算。 這個價值，現在只剩下歷史的意義，可以欣賞一下，但已經不是重點。 它現在的主要「存在理由」有三：

1. 幫助求解指數方程。
2. 寫出某些函數的反導函數。
3. 用來描述「量級」（例如 pH 值、地震強度、聲音響度）。

以下引述一些值得懷疑的對數「題型」。 請讀者自己評估一下，這些題型跟前面所說的對數存在理由，有多少相干？ 但它們是否經常成為對數的「教學例」與段考試題？

1. 設 \(\log_23=a\)，\(\log_35=b\)，試以 a、b 表示 \(\log_{75}120=\)？
2. 若 \(\log x\) 的首數為 1，且 \(\log x\) 與 \(\log{1\over x}\) 尾數相等，則 \(x=\)？
3. 解方程式 \(\log_3(3^x+9)={x\over2}+\log_3 10\)。
4. 求方程式 \(\displaystyle x^{\log_3 4}={4^{\log_3 x}-8\over 3-4^{\log_3 x}}\) 的解。
5. 設 \(0< x< 1\) 且 \(\log_x4-\log_2x=1\)，則 \(x=\)？
6. 設方程式 \(\log(3x)\cdot\log(5x)=1\) 的二根為 \(\alpha\)、\(\beta\)， 則 \(\log_{15}(\alpha\beta)=\)？
7. \(2x+2\log(2+10^x)-\log({1\over4}+10^x+10^{2x})=\)？
8. \(\log_{a^2-1}(x^2-2x+a)\) 對所有實數 x 恆有意義，則 a 的範圍為____。
9. 求解 \(\log_{(x-2)}(2x+3) > \log_{(x-2)}(3x+1)\)。
10. 已知 a、b、c 為正整數，\(a^{\log_bc}=a+b+c=9\)，求 \(ab+bc\) 的最大值。

所以，請更不要用「考試」當作學習的理由。 不要再嚇唬學生什麼題目「考試必考」，除非那是你自己命題的考試。 有很多很多在高中當作「教學例」或「段考題」的題型， 包括絕大多數的「換底題型」，不但近二十年不曾在大考中心的試卷中出現， 未來也是極不可能出現的。 原因倒不是命題委員受到課綱約束，而是因為命題委員都有足夠的專業水準， 都知道那樣的題型無關指數與對數的宏旨。 作為數學教師，我們的專業能力就應該包括： 確實說得出來學習一種數學的意義何在？

當然，對數在未來的用途還有無限可能，只是我們現在還不知道。 前面列舉的那些「題型」，沒人知道將來會不會變得重要而有意義？ 可是，在此當下，我們沒有理由為了不可知的未來而做太多這類題型的練習，對吧？

最後，數學老師會不會認為：如果不考前面那些題型，就沒有題目可以考了？ 如果是這樣，那就是數學課程綱要出了問題，安置了不當的學習內容。 當然不是這樣，只要老師們

1. 准許學生在考試中使用計算機，
2. 參考高中數學學科中心建議的「優良試題」以及各種評量的研習，
3. 參考下一段建議的文件，

作為數學教師自我精進的初步材料， 請看數學課綱的《數學領域課程手冊》 或者《中學數學教材教法》。 此外，也請參閱作者的另一張網頁：數學知行識。

後記

可是人們確實需要邏輯思維的能力。 本文並沒有否認數學教育具有培育「邏輯思維」的效果， 然而這種效果是在釐清概念與解決問題的過程中培育的， 並非單一學習內容（例如 log）的教學目標。 本文的主要論述包括：

1. 所有學科都有培育「邏輯思維」的成分，
2. 數學教師的專業，必須能夠說明一則數學學習內容的價值與意義。
3. 數學教師應能根據前述價值與意義，安排適合於學生的教材與評量。