數學教「識」

由極限計算導數的程序

一位高老師問,當學生做以下計算時 \[\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x+3h)-f(x)}{h} =3\cdot \underset{}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x+3h)-f(x)}{3h}\] 第二式的 lim 算子下方,應該寫 \(h\to0\) 還是 \(3h\to0\)?

我查閱幾本最近使用的微積分課本,搭配個人教書的經驗, 寫出以下建議。但我要先聲明:我認為以上程序並非這一單元的教學關鍵點。 關鍵是要明白:為什麼需要轉換形式?既然 h 和 3h 反正都一樣是趨近於 0, 為什麼 \(\displaystyle\frac{f(x+3h)-f(x)}{h}\) 的極限不是 \(f^\prime(x)\)?

我認為,理想上,完整的程序大致如下。

\[\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x+3h)-f(x)}{h} =3\cdot \underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x+3h)-f(x)}{3h}\] 因為 \(\displaystyle\lim_{h\to 0}3h=0\),所以若令 \(k=3h\),則 \[\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x+3h)-f(x)}{3h}=\underset{k\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x+k)-f(x)}{k}\] 因此 \[\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x+3h)-f(x)}{h}=3\cdot \underset{k\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x+k)-f(x)}{k}=3{f}'(x)\]

在教學過程中,應該盡量這樣講解。但是若以批閱學生作業或考卷的標準而言, 以下三種類型皆可接受:

 \(\displaystyle \underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x+3h)-f(x)}{h}\)
\(\displaystyle =3\cdot \underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x+3h)-f(x)}{3h}\)
\(\displaystyle =3\cdot \underset{3h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x+3h)-f(x)}{3h}\)
\(\displaystyle =3{f}'(x)\)
 \(\displaystyle \underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x+3h)-f(x)}{h}\)
\(\displaystyle =3\cdot \underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x+3h)-f(x)}{3h}\)
\(\displaystyle =3{f}'(x)\)
 \(\displaystyle \underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x+3h)-f(x)}{h}\)
\(\displaystyle =3\cdot \underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x+3h)-f(x)}{3h}\)
\(\displaystyle =3\cdot \underset{k\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x+k)-f(x)}{k}\qquad (k=3h)\)
\(\displaystyle =3{f}'(x)\)

以「知行識」的教學理念來看,上述算式僅為形式,真正重要的「識」, 是為什麼必須置換極限的形式,不能因為 \(h\) 和 \(3h\) 都將趨近於 0, 直接就認為 \(\displaystyle\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x+3h)-f(x)}{h}={f}'(x)\)。 破除這個迷思概念才是學習的重點。

如果上述問題發生得晚,學生已知羅必達法則,就用它吧:

\[\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x+3h)-f(x)}{h}\] (\({0\over0}\) 不定形式)
\[=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'(x+3h)\cdot (x+3h{)}'}{[h{]}'}\] (\([\cdot ]^\prime =\frac{d}{dh}\))
\[=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( 3{f}'(x+3h) \right)\] (假設 \(f^\prime\) 連續)
\[=3{f}'(x)\ne {f}'(x)\]

但如果發生在學習微分的初期,則可舉個簡單的例子說明。 例如取 \(f(x)=x\),則已知 \(f^\prime(x)=1\); 而且,因為 \(f(x)=x\) 是斜率為 1 的直線,它的切線斜率是 1 才合理, 因此 \(f^\prime(x)=1\) 是合情合理的結論。在這個特例上, \[\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x+3h)-f(x)}{h}=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x+3h)-x}{h}=3\ne 1\] 可見 \[\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x+3h)-f(x)}{h}\ne {f}'(x)\] 要小心這個「陷阱」。

類似的情況發生在 \(\displaystyle\lim_{x\to0}{\sin 3x\over x}\)。 很多學生以為,反正 \(x\) 和 \(3x\) 都趨近於 0,就以為極限是 1。 學過羅必達之後,用它做一遍就知道不對。 可是,最直接的教學,應該是讓學生看到 \(\displaystyle y={\sin x\over x}\) 和 \(\displaystyle y={\sin3x\over x}\) 這兩個函數在 \(y\) 軸附近的圖形,就會一目了然。

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Created: Mar 11, 2021
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