數學語用

國中數學語用商榷・回饋

2022 年 1 月〈國中數學語用商榷〉在央團數學月刊刊出之後， 我又在 2 月 1 日補了〈續篇〉。 〈續篇〉引發許多回饋，有些意見非常精彩，埋沒在我的資料夾裡，可惜； 如今摘錄於此，留作記錄。

拋物線

張鎮華老師說： 我之所以關心此事，是在審查數學甲〔教科書〕時的問題。

記得我們在審查數學甲的時候，一些書都會說： 在國中或第一冊時學過二次函數的圖形是拋物線，緊接著就用準線焦點定義拋物線，讓人讀起來很不習慣。當然，這之後他們會由準線焦點定義導出二次函數的式子，算是後補的交代。但是一開始的寫法總是讓人覺得同一個用詞有兩種定義，很奇怪。也許現場高中老師們的教學不是按此順序，而是直接用準線焦點定義，然後導式子，最會總結兩者相同。

經過我們的提問，有些書乾脆把國中教過拋物線的話刪除。有些會按照我們的建議，語句修改，用「重新定義」的字眼。數學甲和第一冊的審查相隔很遠，現在回頭來看，也許中間還有些得再講就。而且我們審查這些書時，一直都假設國中教過拋物線這個用詞。所以現在想再確認一下。

不管是中文「拋物線」還是英文 parabola， 其實都不能直接與 \(y=ax^2\) 或 \(x=ay^2\) 的圖形連結。 就連大家常用的準線、焦點定義，為何和前述的名稱及方程式等價，也都不是一眼看出來的，這中間是要經過一些推導的。一種看法是，不妨把「拋物線」或 parabola 看成是一個名稱。就好像「張鎮華」。 你第一次瞭解他，可能是看過他的文章，也可能是聽過他演講，也可能是和他共過餐，這第一次的「結緣」可以當作「張鎮華」的定義；如果有機會，更多的接觸，就會知道更多有關「張鎮華」的性質。 同樣的，不管你第一次是看到的是 \(y=ax^2\) 或 \(x=ay^2\) 的圖形， 還是拋出物體看到路徑，還是平面截圓錐，你就把它當定義。有機會再累積一些其它性質。重要的態度是，當別人提出另一種說法時，要有好奇心去了解。

當我們看到課本的章節名稱是圓錐曲線，定義卻是與圓錐無關的焦點、準線，但是國中已經說拋物線是 \(y=ax^2\) 的圖形；讀課本的人難道不會問為什麼嗎？

陳玉芬老師認為：現在國中階段，各版本確實是將二次函數與抛物線畫上等號。 但我覺得在國中時期，學生對於此種表示法稱為抛物線好像接受度很高。因此，若就個人想法，我也覺得它頗像對人的認識，一開始只是名字與此人的連結，然後發現這人的許多特性，甚至最後覺得「名不符實」也沒關係。

廖培凱老師分享他的經驗是學生總是記憶圖形， 所以認為 \(y=x^4\) 的圖形也叫作「拋物線」，這有點像有些人把雞蛋或操場的形狀也稱為橢圓一樣。因此我是贊成先叫它「二次曲線」或是只叫它「二次函數的圖形」，高中談了定義之後，再回來說原來它符合拋物線的定義。

曾政清老師梳理新課綱的安排:建議國中與高一階段只要講解一元二次方程式、二次函數圖形即可，高三部分再將二次函數圖形發展至談拋物線即可。（我這學期高三剛剛教此部分的時候，就加入運用旋轉矩陣的作法，讓學生了解代數方程式與幾何圖形的轉換。）

重根

張鎮華老師同意：國中沒有代數基本定理時，不宜談重根。談論概念時，應依學習者目前的前置經驗，就其能理解來談；不必涉及所有相關內容。對小學生而言：不必說正整數 314，因為他們知道的就是 1, 2, 3, 4, \(\cdots\) 這些數， 再加上分數與小數，並無正負的概念。對國中生而言：不必說無理數 \(\sqrt2\)，因為他們並未討論到無理數的概念。國中階段只需分出正數和負數就好。高中教導無理數的證明，數才需要分有理數和無理數。關於實數與複數：同樣的，沒有介紹複數之前，談論實數這個名詞也無必要。不過，老師們都學過複數，也都習慣區分實數、複數，加上早年在高一、甚至國三就教過複數， 縱使 108 課綱的複數是在高三學習，大部分老師也習慣於在高一就用實數這個名詞。習慣之於人，實在是不容易改變的。

吳汀菱老師認為學生對於「重根」這個名詞是可以接受的，國中教學可以這樣解釋：在對一元二次方程式因式分解時，可以直觀感受到有兩個一次因式， 所以當最後寫 \(x=1\) 而已的話， 會讓人覺得是不是還沒寫出所有的根，因此寫上「重根」避免誤解。

廖培凱老師將「重根」議題提上高中階段，他察覺部份的高中生對於重根好像還是有困擾。若考慮 \(y=(x-1)^2\) 的圖形， 它會和 \(x\) 軸相切於點 \((1,0)\)， 所以學生開始有一個印象：「函數圖形與 \(x\) 軸相切，就會重根」， 但是學生對於「相切」的概念又始於國中時直線與圓的相切，覺得相切的情況會是交於一點，直線沒有「穿過」圓，所以出現了一種情況： 學生接受了 \((x-1)^3=0\) 有三重根，但是學到了 \(y=(x-1)^3\) 的圖形與 \(x\) 軸相切於 \((1,0)\) 之後， 又對重根產生懷疑（覺得圖形穿過 \(x\) 軸就不是相切）。而學生好不容易對圖形和重根建立了連結之後，可能又會對 \(y=1+\sin x\) 的圖形和 \(1+\sin x=0\) 是不是也有重根出現疑問。

蘇麗敏老師也將討論提到高中階段：除了呼應代數基本定理、根的個數外，在圖形上還有對應切線的概念。國中雖然用不上，但在高中端的教學上，常常會因為一開始就是認知為一根，到高中要強調此概念時，要花較多力氣去澄清。

曾政清老師建議可以依據現行國中二年級的課程內容「一元二次方程式判別式教學」時，考量是否需要說明兩個(實)根，一個(實)根，沒有(實)根時，加以強調即可。在高中階段要看學生程度，老師課堂適度補充說明，避免更多迷思概念產生。（現行有些高中教科書在多項式這段中都避免觸及此議題。）

根、解與多項式

廖培凱老師表示不清楚為什麼要把「多項式」的「根」，和「多項式方程式」的「解」刻意作區分，或是說，「根」和「解」這兩個名詞用字的原因、脈絡是從哪來的？我原先只是覺得它們是英文 root 和 solution 的翻譯。當然我能理解， 平常不會用「根」這個字描述其他種類的方程式的解，一般只用在多項式或多項式方程式裡。只是，如果習慣了，對於「多項式的根」和「多項式方程式的解」的用法不去作區分，會有觀念上的差別嗎？

【單】我只是想要說明「根」和「解」在英文語用上的差異。沒想要堅持什麼啦。這是小事。

廖老師分享他的偏好，不喜歡也不會用 P、Q 這類的大寫英文字來稱呼一個多項式，我覺得會跟「點」的名稱混淆。 我認為學生剛開始在用 \(f(x)\) 或 \(g(x)\) 來描述多項式不會太有困難（但也許是因為我教的對象是高中生），學生在操作多項式的運算時，不太需要去想到函數的對應關係，只是單純的進行代數運算。相較之下，我比較能接受用甲、乙、丙來稱呼多項式，像是甲+乙代表兩個多項式的加法運算，但沒有什麼特別的理由，真的只是純粹個人偏好。

蘇啟寅老師寫的回饋，排版很美，我直接剪貼吧：

蘇老師也提到 zero 的說法，他記得讀到的翻譯是「零點」。他忘了過去在哪一本書看過零點這個說法(幾十年前吧)，但是前幾天我在人教版高中教科書查到類似的說法(劉紹學主編，2007)。

移項

陳玉芬老師非常有同感，她補充連學生都會「自覺性」感到疑惑，因為他們的認知是「移項要變號」，但為何有的沒有？所以這樣的教科書內容確實不宜。

不過，我覺得對於例子 \((x-1)(x-2)=3\)，學生更可能犯的迷思是因式分解，因為他們會認為左式有二項相乘，所以右式就也拆成二項 \(3\times1\)（絕不會拆成分數相乘的）， 但這樣的錯誤相對容易修正的，就是當他們自己發現也可以分數相乘時，或老師補充時。

蘇啟寅老師則提出解決之道，或許可以參考大陸教科書的「係數化為 1」的說法（李海東主編，2012）。如下例：

試解 \(5x+2=26-3x\)。
解：移項可得 \(5x+3x=26-2\)，合併同類項 \(8x=24\)，係數化為 \(1\)， 得 \(x=3\)。

【單】其實還有一種說法，譯自英文教科書：isolate \(x\)， 孤立 \(x\) 或者說「孤立等號左側」。

方程

蘇啟寅老師說：目前大家似乎習慣使用「方程式」表示一個 equation， 而以「方程組」表示兩個以上的 equations， 但我們也習慣「微分方程」這一類的說法。個人認為，語文(言)會隨著時代進化，適者生存，以平常心沿用即可，不用特別去做任何修正。再說，七年級學生恐怕很難對這兩個名詞「望文生義」，但至少「方程式」還可以暗示「它是一個式子」吧？

曾政清老師為此做了歷史耙梳。查了一下我上大學時的資料，教育部於民國七十一年公布數學名詞第三版（正中書局出版），由楊維哲教授起草初稿，數學會並推薦包括賴漢卿、呂溪木、顏啟麟、李白非、林福來、郭滄海、何清人、薛昭雄等二十二位教授擔任審查，歷經七十七次會議定稿完成。其中除了多項式與不等式外其他大都是以「方程」名詞出現。但在一年後教育部公告當時高級中學新課程標準，後來師大科教中心便依此出版部編版高中教科書（我當時剛當高中數學老師便是使用此套教科書），其全都內容使用的是一元一次方程式、直線與平面方程式等方程式名稱。

這讓我當時準備新課綱備課與教師甄選時百思不得其解，前後兩次參與的教授變動差異不大，怎麼會有不一樣的名詞解釋。後來九十一年我因為擔任全國國中基測總幹事與建中教務工作，追隨于靖與陳宜良、鄭國順等幾位教授進入教育部前瞻委員會擔任委員，專案處理九年一貫數學課綱微調工作，記得那段時間爭吵與會議不斷，才開始漸漸理解數學家的專業考量與數學教育的理想實踐有不同思考面向，以及其他學科對數學工具學科的定位有不同看法和建議也必須尊重考量。

寫過數學史碩士論文的陳玉芬老師，提出所謂「方程」按照魏晉劉徽的《九章算術》注文：

程，課程也。群物總雜，各列有數，總言其實。令每行為率，二物者再程，三物者三程皆如物數程之，并列為行，故謂之方程。

諸物之間的數量關係，每一個數量關係構成一個整體。所以一個關係稱為一程；求二物的標準需要二個關係，要再程，三物者三程，這些關係一行行並列，就叫做方程。

另外，在《韓非子．定法》：「問者曰：『申不害，公孫鞅，此二家之言孰急於國？』應之曰：『是不可程也……』」。在這裡「程」有比較的意思。這是個人一直覺得「方程」之意，若解釋為「式子併列之後，相比較然後再計算」，似乎也說得通。

陳老師對於國中階段的具體建議是： 僅管 equation 與原意「方程」有所不同，但依目前的教材來說， 我會簡單地認為「方程式」就是一個式子，若真有可能改變，我會覺得方程可以代替聯立方程式。至少對學生而言，可以少寫很多字，他們是樂意的，而且「方程」也有「數之形」的感覺。

比與比值

張鎮華老師回應、補強了關於「比的各項容許為 0」的意見。原文掃描如下。

課綱回顧

曾政清老師、蘇啟寅老師都把視野擴展到課程綱要的層次。

蘇啟寅老師回憶

我讀初一時，台灣正流行「新數學」、SMSG 教材。讀高中時，項武義教授編寫第一冊高中實驗教材(初稿)，然後，黃武雄、邱守榕等教授相繼投入編寫工作。翌年，黃教授親赴彰化高中試教實驗教材(我去旁聽過)，並出版通訊刊物《數學教室》。之後，中央研究院數學所的數學傳播季刊創刊，設定讀者對象為高中生以上。在那幾年，掀起一股關心與探討國內數學教育的熱潮。

不同世代制定課綱有不同的想法，內容時有更迭。 記得高中時學過 Lagrange 插值法，後來消失了。 上一代課綱雖再度出現 Lagrange 插值法， 卻又如曇花一現。教學現場須掌握變與不變，真是不容易啊！

多年以來，中學數學的教學目標、內容、課程、教學、評量不斷在改變，我也保持研習、進修的習慣。不過，或許我的看法、想法可能會逐漸與現在的「主流」不同。我寫迴響(回應文)，不是想要主張什麼，只是希望在時代不斷進步的同時，提供個人經驗，尤其是「歷史經驗」，也希望能有貢獻吧！ (就是野人獻曝啦)

我可以補一則歷史：Lagrange 插值法再度進入課綱，仍然是項武義教授的推動。在陳宜良教授主持 98 高中數學課綱之初，曾請教項武義的意見， 項教授極力推薦 Lagrange 插值法，陳教授接受了這個建議。

曾政清老師則有更多的親身體驗：

其實個人淺見，覺得任何的改變都需要做足功課事先溝通，參考大中華地區或是日韓、新加坡的課綱，並取得數學會與台灣數學教育學會共識，然後在國家教育研究院數學名詞審議小組開會通過。再配合課綱制訂、教科書出版以及學科中心、數學科輔導團、師培大學共同合作執行才可能事半功倍。以下舉兩個例子說明。

一、取捨原理

依據九九課綱(P58)的說明，Principle of Inclusion and Exclusion (PIE) 翻譯為排容原理或是容斥原理(中國大陸)。 但是中文裡原來沒有排容或是容斥這類的習慣說法。一般我們只有在傳統習慣的文辭中沒有恰當翻譯法時，才去生造或杜撰新名詞。 其實 Inclusion and Exclusion 就是在做「取捨」， 因此把 PIE 翻譯為「取捨原理」 較為恰當。十年過去，高中教學現場許多人習慣還是改不過來或是不願改變。我查詢了維基百科發現容斥原理使用者非常多，習慣應用排容原理的人也不少(特別是其他學科的人)。

雖然許多的革新進步都是從少數人自我覺察實踐開始，但是仍需要不斷溝通與時間才能完成真正的改變。就像我們學校的校名四十年前就已經正名為建國高中了，在各種場合我們都十分努力正名。可是至今，大家還是習慣稱呼我們「建國中學」 (早期附設有國中部的校名)，最近聯經出版社發行台達磨課師專書，校長和我的職稱還是改變不了。

二、與物理人的溝通

記得此次數學新課綱制訂過程，有人向我建議是否在課綱橫向協調時與物理科商量向量表示法與其他相關定義名詞的差異。當時很想建議找物理學會先行溝通，但後續發現有很多內容與研究未完整進行因此作罷。所以此次單教授的未雨綢繆與前瞻規劃，蒐集國高中數學老師的相關建議，先行致上十二萬分的敬意與謝忱!!