數學語用

「角」的單位

最近有一位熱心的前輩，陸續發表了〈【天呀！誤用200年的數學】探討圓周長公式的問題〉、〈從單位的推估發現弧長公式的問題〉等 6 篇網文； 他依據「單位推估」的邏輯，指點數學中的「圓周長公式」、「弧長公式」有錯， 並且提出一套解決方案，為圓周率、角、圓周長設計新的單位， 以便維持「單位推估」的一致性。 後來，根據他的主張，又指出國中數學課本裡的「弧度」教學不當。

本文不一一回覆前述意見，只想要盡個人所知，扼要說明關於這個主題的知識體系。

簡單說，議者所謂「從單位推估」的「單位」是量綱分析 (dimensional analysis) 意義之下的量綱或因次 (dimension)， 但是它又俗稱為「單位」，就容易跟度 (degree)、弳 (radian) 之類的「測量單位」(unit) 搞混了：此「單位」非彼「單位」，只是不幸都被翻譯成「單位」。

在前述語言意義之下，目前國際通用的知識體系認為圓周率（記作 \(\pi\)）與角量 (angle measure) 皆為無因次量 (dimensionless)，而圓半徑 \(R\) 與圓周長 \(C\)、弧長 \(\Gamma\) 皆為一次長量，故「弧長公式」\(\Gamma =R\theta\)（其中 \(\theta\) 為圓心角的弳度量）符合量綱分析，也就是符合「單位」的一致性； 而「圓周長公式」\(C=2\pi R\) 只是弧長公式的特例（當圓心角為全角時，\(\theta=2\pi\)）。

以下進一步扼要說明。

歐洲、亞洲和北非古文明都在二千年前發現「所有圓皆相似」， 至於發現的動機與過程便不細究了。 據此概念，圓周長就是「長」，與半徑或直徑屬於同一種物理量， 皆可用（例如）公分或英吋作為測量單位 (unit of measurement)。 而相似性則可推論圓周長與直徑成正比 (\(C\propto 2R\))， 此正比關係的比例常數（constant of proportionality）如今稱為圓周率，記作 \(\pi\)。因為 \(\pi\) 是同類物理量的比值， 所以它在量綱分析的意義上，是無因次量。

不論完整的圓周長還是一段弧長，皆可獨立測量而未必需要藉助於計算。 古人可能用麻繩或毛線測量圓周長，也可能將圓盤沿直線滾一圈而從軌跡測量圓周長， 我們不得而知；總之圓周長就是「長」，它本身是客觀存在而且可測量的。 測量曲線長的工具稱為曲線計 (opisometer)， 作者在高中時期即由登山用品店買到一種機械型曲線計 Filfeel Map Measurer，如右圖， 用來測量地圖上一條路徑的長度^[1]。 近年還有電子的數位曲線計，例如 Scalex MapWheel 不但可測任意曲線的長度，還可以估算封閉曲線所圍區域的面積，如下圖。

因為圓周長與直徑都是客觀存在的，反而圓周率是後來創造的， 所以就知識論而言，俗稱的「圓周長公式」\(C=2\pi R\) 並不是計算圓周長的公式， 而是圓周率的定義。

當然，測量一定有誤差，這是另一個議題，此處不必再談。 就圓周而言，計算也有誤差，其誤差來自取 \(\pi\) 之概數造成的誤差。

至於角 (angle) 則是由共端點的兩射線 (two rays of a common endpoint) 組成的幾何物件 (geometric object)， 其中「射線」可改為沿該方向任意（非零）長度的線段； 因為兩射線決定一平面，所以「角」一定在平面上。 角的大小，亦即角量 (angle measure)， 則是平面上從始邊到終邊繞頂點的旋轉量。

就像「長」有各種不同的測量單位，各有各的單位長 (unit length)，「角」也可以有各種不同的單位。 為了用數表達角量，我們需要約定一個參考基準，也就是「單位角」(unit angle)。 如今國際間約定了三種「角」的測量單位，數學課程教導其中兩種：度 (degree) 和弳 (radian)。它們都需藉助於一個輔助的圓： 以角的頂點為圓心，任意半徑 \(R\) 的圓，角截此圓為一段弧。

前面已經解釋過：弧長是可獨立測量的物件，它本身就有可測量的長度； 換句話說，弧長是客觀存在的概念，它並不是半徑或直徑的導出量。 我們稱前述圓周長為 \(C\)，由角截成的弧長為 \(\Gamma\)。 用這些符號，現在可以定義「度」和「弳」的單位角（基準量）了：

根據前述基準量，一個角的測量值就是相對於單位角的倍數，也就是： \[\theta =\left(\frac{\Gamma}{C}\times 360 \right)\,\text{度} =\frac{\Gamma}{R}\,\text{弳}\] 雖然數學上說角量的單位是度或弳，但角仍是無因次量（因為它是「長除以長」）。 至此也知道了，就知識論而言，所謂「弧長公式」\(\Gamma =R\theta\) （其中 \(\theta\) 為圓心角的弳度量）也不是計算弧長的公式，而是弳度量的定義。

總結而言：

1. \(\pi\) 作圓周率時，單純是一個數，沒有 unit 也沒有 dimension； 作為平角的弳度量時，有 unit 但是沒有 dimension。
2. 「弧度量」是「弳度量」的同義詞，但是「弧度量」容易誤解為「弧度」， 而「弧度」在國中數學的意義為「弧的圓心角量」， 所以建議減少使用「弧度量」，多說「弳度量」。
3. 「無單位量」是 dimensionless 的俗稱，但是此「單位」容易誤解為 unit， 所以也建議少用，應說「無因次量」或「無維量」或「無量綱量」。

最後補綴兩點：

1. 所有三角比（sin, cos, tan 等）既沒有 unit 也沒有 dimension。
2. 角不能被其他物理量推導出來，「角」是獨立的物理量。目前所知的物理性質皆可被六種基本屬性（attributes）表達出來：長、重、時、溫、電荷，和「角」。

註釋

1. 機械型曲線計用滾輪來測量曲線長度，所以它其實是圓周長的應用。