- 單維彰
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「全等」要從平移、旋轉、翻轉都能看得出來，這一件事將來希望可以在課綱寫得更好。這也是正新老師正在國教院做的研究──將來如果課綱可以有一點格式上的修訂，那個「學習表現」可以怎麼樣修訂？我覺得這似乎最適合寫在學習表現裡面，學習表現應該要說出來學生可以辨識全等圖形之間的翻轉。呼應上一次周淑卿老師說的：「可不可以把活動放在課綱裡面？」要有真實的東西在手上，要不然所謂的翻轉，它又可以變成一個邏輯推論的問題，但是如果有一片東西是看的到、拿得到，不一定每個小孩手上有，但是至少在學習表現陳述實物操作這一件事，這是可以考慮寫在課綱規範裡面的。
有人說這一次 108 的課綱跟過去的課綱有些主要的不同，其中一個不同就是把教法規範在裡面，但是我個人認為這個應該是從九年一貫就開始了，九年一貫課綱就試圖把教法規範在課綱裡面。但是當然也有人反對，因為你規範的越多就好像越沒有創意，限制了大家的創造力。所以這當然是需要許多人一起討論的。
- 單維彰
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文字會不會太多？情境合不合理？確實不容易寫下客觀的標準。例如如果題幹寫著有人跑了 3 又 5/7 公里，可能有人指責正常情境不會測量出 5/7 公里，但作者可以說我就是每 1/7 公里有一個路標，不行嗎？
- 袁媛
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類似地，題幹畫兩條魚，左邊這一條魚 10 公分，右邊這一條魚 12 公分，把兩條魚接在一起，問你這兩條魚幾公分？為什麼，我們什麼時候要去把兩條魚頭尾接在一起？
- 林原宏
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釣魚比賽的時候，比誰釣的魚比較長；真的有那種釣魚比賽要把兩條魚加起來。
- 吳昭容
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我猜想是不是國小的數學內容，的確要找到呼應生活情境是容易的，所以你要說服他們不困難，因為他們也可以想到其他更合理的情境。但會不會國中、高中以上的數學，其實它本來就有難度，所以你去挑戰編者，他們就會覺得那你告訴我一個更合理的情境，可能我們自己也舉不出來。
- 林原宏
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有時候不盡然說完全是生活情境他才會學得會，有時候數學上要有適當的理想化，他也一樣學得會。所以如果說所有的情境都要生活情境，坦白講不是每個小孩的生活經驗都一樣，你不能夠說所有的孩子都適應一樣的生活情境。
關於公里、公升出現分數那件事，我有一點不同的意見。有時候我們不能認為：出現分數的時候，就一定要在平分的情況下看待分數。應該在中年級開始──至少 4 年級開始──就要把分數當成是一個數了。以這個情境而言：當我知道 1 公升的量，我自然心裡面可以把它劃分成 9 等份。我們有比較過芬蘭其他歐洲國家的教科書，在很多度量衡的單位裡面，你已經知道 1 公升、1 公里、1 公尺，那個「一」存在性的時候，我自然而然就會大約的把那個一做平分的動作。
我知道這是對分數的數值形式不大一樣的解讀，早期是從等分割的觀點形成分數，可是 4 年級開始，學生應該是要把分數看成一個數。如果緊守著說度量衡裡面都不適合用分數表示的話，那學生以後一定是沒辦法使用分數。
- 袁媛
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我想表達的是，如果今天是要教運算原理，那是不是就要操弄各式各樣奇怪的情境？然後那些分數也不可能在生活當中出現──雖然我們不能說它不可能出現，但是真的有沒有呢？生活當中，假如容器或量尺沒有 7 等分刻度的話，我們要怎樣把一個東西 7 等份？所以太多的問題都是因為要做很多練習，所以給了很多情境，帶出各式各樣的數量，真的需要這樣教學嗎？
- 林原宏
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減少是非題的堅持，我覺得非常贊成。我去幫忙帶國小老師專業成長的時候，有些老師真的很喜歡考是非題，就是一個命題敘述，用文字敘述，我教你判斷圈或叉這樣子。但是小朋友都不解其義，就是圈叉下去而已。這個我也非常贊同。
但是關於讀法評量那一件事，我有一點不太一樣的看法。如果列出國字要學生圈出正確讀法，有比較好嗎？
- 單維彰
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這個地方，我也覺得是適合寫在「學習表現」的。在這裡，我們就是希望課綱帶著教科書，教科書帶著老師，老師帶著學生真的要發聲，要學生說出來、講出來，而不是寫出來。
如果課綱在 7 年級說要能夠判別 3 跟 11 的倍數，那就是很清楚 5 年級不要教這些。但我剛剛去翻了課綱，我們的國中課綱確實沒有寫 3 跟 11 的倍數。
- 單維彰
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異分母分數比大小，為什麼沒有化為小數的方法？
- 袁媛
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這一節是要教異分母分數的加減與比較，其實是要教通分的方法。
- 林原宏
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我相信很多老師，沒辦法自己拿捏教學跟評量之間的差異。所以有一個心得，我相信袁老師也會同意，我們光從教科書的形式去規範老師說「這個只能教不能夠評量」，其實老師是不知道的。老師的習慣都是：有教，就可以評量。
- 袁媛
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不僅老師如此，教科書編輯也是。你看課綱寫不需評量，還是發現他們的習作都有。所以我才會想，也許這是我們可以採取的一個規準：就是在評量上面不准超過課綱，可是教學就可以有一些適度的延展。但是，又擔心一旦教學頁面超過了，教師就認為可以評量。所以，即使課綱這樣寫，我們在這邊討論得很清楚，但是教學現場完全不知情。
- 林原宏
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但是我覺得評量要看整個班級的學習狀況，有時候要因地制宜。教育部給很多一定要評量、一定不能評量這種規範，使得很多老師沒辦法因地制宜。
- 袁媛
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我想提另外幾件事，已經準備了投影片但是沒有放在正文之內。很多研究已經在說，單位分數是不是一定要從平分引進，是不是也可以從測量概念引進？比如說這個黑板有多長？九個板擦多一點點，這要怎麼去表示它？它就不是用公平切割的概念引進分數。日本好像就有從測量概念引進分數概念，不見得是用平分引出單位分數。就是比較有需求性說，我需要用一個數來表示像這個不滿 1 的怎麼辦？
第二個是，在國小要不要去用符號代表數？比如說甲乘以乙等於丙的時候，丙是甲的倍數也是乙的倍數，到底這樣的東西要不要出現在小學？課綱沒有特別寫這樣的東西啊。但是它們都在，比如說高年級習作的重點整理，就會整理這樣的代數規則出來。
- 袁媛
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我覺得在課本裡，目前那些幾何題的「問題」蠻嚴重的。像這樣子，三個例子之後，就開始宣告：任何兩邊長的和大於第三邊，沒有足夠的引導。就是前面講的，有限例就宣告發現，在教材有限的頁面內，會出現這個狀況。這個很嚴重，會變成我們的老師就像這樣教，給了幾個例子就宣告結果。這個是我看到的一個現象。
例如像這樣：我給你四邊形，然後他內角和是 360 度，接下來要學生想想看不同四邊形都是 360 度，然後宣告任何一個四邊形的內角和都是 360 度。這樣是不是太快了？
雖然國中也教，但是小學就出來說四邊形的內角和都是 360 度啊。我的意思是說，在國小階段的幾何裡頭，好像都用很少的例子，然後很快的就結論一個發現。這樣的是不是過度？就是到最後學生就是只記得這個結果，為什麼會產生這樣的一個結果？好像也沒有那麼重要，因為他很快就已經有那個結論出來了。這是我看到的幾何部分值得注意的現象。
- 袁媛
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另外一個國小特有的問題──國中可能比較不會有這種問題，因為在國中就計算答案──國小有太多規約，像是題目要你用算式記下來，然後又要寫橫式，又要寫直式。到底什麼時候需要橫式？什麼時候需要直式？好像也沒有特別的意義。特別是應用問題最後一定要解答，好像是規範的，然後如果有單位就一定要寫上。
- 林原宏
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我也贊成袁媛老師提的這個問題。這種題目要看那個單元的教學目標是什麼？這一題已經是在做直式計算了。也就是說，它一定要用直式做計算，因為要學直式這種程序算則，那我們透過情境讓學生會用程序來做計算，所以這一題的主目標是在直式的計算。至於橫式，以三下而言，通常都會寫。為什麼？教科書沒寫的話，現場老師不同意。我們都要用橫式把問題記錄下來。教科書知道在三下，直式是一定要的，而橫式則是順應使用者（老師）的習慣。
所以我有一個心得：教師使用教科書的時候，有一個是隱性知識 implicit knowledge，一個是顯性知識。顯性知識是教科書呈現給你看的，隱性知識必須要靠老師的專業來說。這個單元到底在學什麼？主要教學目標是直式算則時，有沒有橫式其實並不那麼重要，但是寫不寫橫式是老師的自主權。
- 袁媛
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可是我們都沒有把這個部分講得很清楚，老師就解讀說用橫式記錄下來，然後他看到課本這麼寫，就會要求學生一定要把橫式寫下來。這個部分好像我們沒有講得那麼清楚。
- 林原宏
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教師手冊都會寫。可是老師不看教師手冊，老師只看課本。
- 袁媛
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我還有另外一個問題，就是說應用問題。假如我是在教直式算則，是不是每一個直式算則的教學都要搭配應用問題？現在每一個直式算則的教學，都會先出一個應用問題把它引出來。
- 林原宏
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歐美的教科書，都是單純的直式計算。
- 袁媛
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是直接教學生算對不對？不要去管文字題，中低年級學生連讀都沒有讀懂，都到不了計算這一關。可是我們的教科書一直以來都先有布題。
- 林原宏
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這的確是我們國內的習慣。像芬蘭、新加坡，很多是先會程序算則，再把那個算則套到情境去。
- 袁媛
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再一個意見是關於數線。數線要幫助學生理解什麼？目前課綱是說讓他知道加減的意義，可是如果課本出一個 1327+4 的問題，他已經會算了，幹嘛還要讓他在數線上做加減？感覺教科書好像比較沒有搭到數線的教學目標。另一個是跟我做的研究有關，就是我們好像一直很少著墨於「數線由實數所佈滿」這個觀念，然後小學學的數最後都要延伸到數線上的位置。可是數在數線上的位置、數線的意義，這些學習內容一直以來好像沒在課綱講清楚。
- 袁媛
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最後一個意見，是我們的評量有太多的變化。比如說兩個數比大小，就是要寫出大於、小於、等於符號，那我們就會出左邊是一個算式的題目，要不然就是「一百二十」跟 102，一個是用寫中文數詞，一個寫阿拉伯數碼。這麼樣的變化多端，好像也不是那麼有意義。我是覺得在教科書裡，盡可能不要做這麼多的變化例題。
- 袁媛
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想要最後講一個我的觀察，就是我們在 89 暫綱有講到等號的意義，從小一就開始告訴小朋友 5+3=3+5 那個等號的左右兩邊相等。後來 92 正綱就說小學生學不會等號的意義，所以就拿掉了。但是好像這一條目就沒有再寫出來，教科書並沒有在什麼適當時候特別去教等號的紀錄方式，就是等號的左右兩邊可以都是算式，這件事情好像就不見了耶。但是孩子到國中以後，如果沒有在國小獲得這個概念，可能到國中是會有狀況的。國小階段在 89 暫綱有寫出來，後來因為現場有一些聲音拿掉了。
- 單維彰
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這件事可能已經有共識，1960 年代美國 SMSG 就是這樣寫的，後來被罵得臭頭，已經被認定失敗。所以的確在小學中低年級是不應該；這個可能已經是共識：小學階段不用談等號的 equivalence 的意義，他只是一個紀錄計算的過程的意義。但是袁老師說的非常有道理，在小學高年級有沒有適當的時間點？在進入國中之前的哪一個時間點，可以把它置入小學課程？還是國中要自己負起責任？這必須由課綱說清楚。
- 吳昭容
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袁老師剛剛提到的四個堅持，我現在看起來都是排除法，不是說應該做什麼，說的都是不可以做什麼，我會覺得這樣蠻好的。負面表述有兩個優點，第一是可以避免以審代編。如果你跟他們說要做什麼，那其實你就已經在指導他們要怎麼寫，這個是審定委員的一個大忌諱；就是我們不希望審查者介入太多。另外一個優點，就是它會釋放出課本的篇幅，讓編者被迫去思考要怎麼編出一些新的東西，而不是沿用舊的方式。如果採用保守作法，說得好聽是讓編者有比較大的空間，可是實際上看到的是，大家跟隨以前的編法，所以以前課本長什麼樣，大概就繼續這樣子。
- 林勇吉
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我可以提供一個實徵資料，讓老師們可以更大方的說。我最近在做比和比值的教科書研究，發現國小跟國中大概有 90% 的 overlap，比和比值的概念都一樣：例如比的意義、比值是什麼、最簡單整數比，國中跟國小都有。唯一的差別就在於國中有加負數進來，其他地方可以說百分之百一樣。然後我去訪談國小老師跟國中老師，我發現被訪談的 20 幾位國中老師，沒有一位老師在教學時，覺得學生已經學過比和比值，他們都從頭再教一次：什麼是比？什麼是比值？什麼最簡單整數？全部從頭再教一次。學生也沒有因為曾經學過，學這個主題就很強很快，老師們完全沒有這個感覺。直到我跟他說國小課本有，他們才說：「那我就不要教啦。這都已經教過了。」
事實上這個故事告訴我們說：課綱把比和比值放在國小，不知道效用有多少？對國中來說，老師並不覺得學生會，國中其實又再教一次，而且不是教新的方法，是一模一樣的東西再教一次，連例子都跟國小會用的例子一模一樣。如果是這樣的話，那這種國小跟國中 overlap 的地方，對學生又沒有幫助的話，要不要考慮就把它在國小弱化，或是變成補充教材之類。
國中課綱已經把指數律拿掉蠻多，規範一些不能計算，但是國中老師還是想辦法要去計算，而且要去證明這樣做還是不違課綱。我支持袁老師說 3 的倍數應該從國小拿掉。就以比和比值這個例子來說，如果其實國中會學到的話，就專心留給國中，除非我們有證據顯示螺旋式課程──國小談一次，國中再談一次──學生學得比較好。但是根據我訪談的 20 幾位國中老師，我覺得有一點點證據力，國中老師完全沒有感覺學生學過。20 幾位老師表示學生也沒表現出他們學過的樣子；我覺得可能有一兩名學生記得，但是他們不肯說，可以確定大部分學生忘記了。我覺得這是一個我們可以再思考的問題。