數學課程綱要

高中一年級數學課程何需微積分？

課程內部需求：高一

前面兩篇論述了「高中數學課程需要有微積分」的理由，但我真正想要提倡的是在高中一年級引進微積分。前面已經講過的兩項理由仍然合適作為高一引進微積分的動機：

1. 內部動機：為了提升高中生的數學思維與解決問題能力（張海潮論述）
2. 外部動機：大一專業課程學習的需要（高晟鈞碩論）

而此項理由再分兩篇闡述：高一課程的內部需求，高二／高三課程的內部需求；本篇闡述高一。

本篇提出的理由跟張海潮老師的論述同屬「內部動機」，但可細分：張老師提的是「數學內部」動機，而此篇可以說是「數學教育內部」動機。

所謂「高一微積分」將是多項式函數的微積分；以後的篇章將會詳述，此時請讀者暫存質疑，先以多項式函數的微積分為討論前提。

一言以蔽之：

在高一引進微積分可以為若干高一固有的課程內容提供學習動機，以及實用的機會。

1. 函數的括弧符號
   國中教育階段已經發現學生對於函數的 \(f(x)\) 符號感到困難；在 108 課綱之前，已經不再要求教科書展示 \(f(x)\) 符號，而 108 課綱更進一步取消了 \(f(x)\) 符號。考其緣由，根本原因可能是國中階段並沒有使用 \(f(x)\) 符號的必要，使得這個符號的學習成為額外的負擔。

   而「沒有需求」的情況，在高中一年級（10 年級）並沒有太多改變。

   對初學者而言，函數的「對應關係」概念實在難以一次到位，所以不得不從代數形式入門。然而，就形式而言，例如 \(2x-3y=1\) 是直線方程式，甚至 \(2x-1=3y\) 也是直線方程式或二元一次方程式，必須寫成 \(\displaystyle y=\frac23x-\frac13\) 才是函數。順道一提，其實 \(\displaystyle x=\frac32y+\frac12\) 也是函數，但我國課程並未涉及此種表達，而教材也幾乎不提，有些老師會在解題技巧當中教導此種型式的函數。

   類似地，\(\displaystyle x^2=\frac14y\) 是拋物線方程式，而 \(y=4x^2\) 就成了二次函數。一般而言，將方程式寫成「以 \(y\) 為主角」的等式（方程式），就是函數。對初學者而言，能在認知與操作上做到這一點，就達到了初步的成功。相對地，學生也該了解另外一面：不是所有方程式都能改寫成函數。典型範例是圓方程式 \(x^2+y^2=1\)。它可以改寫成 \(y=\pm\sqrt{1-x^2}\) 但教師必須讓學生理解這「不是」函數，它也可以改寫成 \[y=\sqrt{1-x^2}\quad\hbox{或}\quad y=-\sqrt{1-x^2}\] 但教師要讓學生看得出來以上兩個函數的圖形都不再是原來的圓。

   在國中與高一大多數的教學脈絡中，只需要使用「以 \(y\) 為主角」的函數符號，並不需要例如 \(\displaystyle f(x)=\frac23x-\frac13\) 或者 \(f(x)=4x^2\) 的括弧符號。這個情況導致有些老師寫出冗贅的函數表達式，例如 \[y=f(x)=\frac23x-\frac13 \quad\text{或}\quad y=f(x)=4x^2\] 這種冗贅的表達方式恰是括弧符號難以掌握的證據，無必要的表達方式可能會加重學生的認知負荷，甚至可能導致學生潛意識的排斥。

   在高一課程中，可能唯有多項式的因式定理與餘式定理真正需要括弧符號。意思是說，令 \(f(x)\) 為多項式函數，則以下除式成立： \[f(x)\div(x-a) = q(x)\ldots f(a)\] 或者以下等式成立： \[f(x)-f(a) = q(x)\cdot(x-a)\] 而此處正是適合引進微分的點。假如不在此時引進微分，則多項式的因式定理與餘式定理就純粹是代數公式，它將會引發相當多──而且相當有難度──關於「方程式論」的代數問題，但這些問題有如「謎題」，掌握箇中技巧的人固然會玩得津津有味，而且不無「鍛鍊智能」的效果，但是解決這類謎題的知識與技能畢竟沒有普遍／即時的需求，它甚至可能導致不利於數學教育的態度──例如認為數學無聊或者自己不需要數學。換個簡單的說法：這種謎題不利於「數學素養」的教學。

   相對地，如果在此時引介微分，則為表達例如「在 1 附近的割線斜率」而有 \[{f(1+h)-f(1-h)\over 2h}\] 再次需要函數的括弧符號。「在 1 的切線斜率」固然可以表達成 \[\Bigl.y^\prime\Bigr|_{x=1}\quad\hbox{或}\quad\left.{dy\over dx}\right|_{x=1}\] 但 Lagrange 符號畢竟最為方便：\(f^\prime(1)\)。

   在適當時機，教師將會引導學生寫出例如「\(f(x)\) 在 \(a\) 的切線斜率為 \(f^\prime(a)=8a\)」這樣的公式，這裡提供一次真正理解什麼是「自變數」的機會。經過適當的練習與引導，學生將有機會認知「變數符號」的實質意涵，進而將上述「公式」昇華為「導函數」\(f^\prime(x)=8x\)。

   順道一提：以上關於斜率的探究，為高中數學強調直線的「點斜式」而不太在乎其他形式，提供了堅定的理由。

   假如 10 年級能夠進一步應用微分於「一次近似」，則 \(f(x)\) 在 \(x=a\) 處的

   切線方程式   vs   一次近似函數

   在代數形式以及在操作程序上的相同與相異之處，再次提供學生釐清「方程式」與「函數」觀念的機會，也再次提供函數括弧符號的需求。在實際需求中運用所學，使得學習在心理上顯得有意義，這種「意義感」理論上有助於提升學習的意願。

   提醒：最終，學生當知方程式相當於隱函數。但這不是 10 年級的課題。（可是可以考慮作為 11 年級的課題，它將使得微分連鎖律，在二次曲線的切線派上用場。）

2. 多項方程與多項不等式的求解
   令 \(f(x)\) 是一個多項式函數，所謂多項方程就是 \(f(x)=0\)，而所謂多項不等式就是 \(f(x)\lt0\) 或 \(f(x)\gt0\) 或其他型式的不等式。高一固有課程包括多項方程的求解，以及多項不等式的解區間。教科書苦於找不到合情合理的應用問題，因此教師也苦於找不到引起學習動機的實例。一旦引進了微分，則求解 \(f^\prime(x)=0\) 是為了找尋臨界點，而這些臨界點提供導函數 \(f^\prime(x)\)──它仍然是多項式函數──不等式解區間的「邊界」，同時也是原函數 \(f(x)\) 發生極值的候選位置。眾所皆知，此種數學的典型應用即最佳化問題。一旦引進最佳化問題，多項式函數就有了「數學模型」的功能，而不再是一種純粹的代數形式而已；至於最佳化問題則提供取之不盡用之不竭的範例，教科書再也不愁應用題，教師再也不缺引起動機的實例了。

3. 次方與根式的有理指數一般化
   國中一年級（7 年級）透過小於 1 的科學記號提供「負整數指數」的初體驗，但除此之外並沒有負指數的需求，教學經驗也顯示國中學生普遍不容易穩固習得涉及負指數的指數律，所以 108 課綱並沒有將負指數設定為國中階段的學習內容。類似地，國二（8 年級）也沒有將平方根 \(\sqrt\cdot\) 改寫為指數為 \(\displaystyle\frac12\) 的次方形式。考其緣由，根本原因也可能是國中階段並沒有使用有理指數的需求。

   上述「沒有需求」的情況，在高一（10 年級）其實並沒有大幅改變。但是，我們在 10 年級已經迫不及待地教給學生有理指數；也就是說，我們把諸如 \(\displaystyle{1\over\sqrt x}\) 和 \(\displaystyle\root 3\of{x^2}\) 寫成 \(\displaystyle x^{-1/2}\) 和 \(\displaystyle x^{2/3}\)。但實際上，以現在的高中數學課程而言，學生在此固然習得了一組系統性的符號，可是並沒有運用它們的機會。

   順帶提到：部份高中數學教師認為 \(\root 3\of x\not=x^{1/3}\)，或者懷疑它們到底是不是同一個概念？筆者藉此機會重申：我相信數學主流的約定是將符號 \(\root 3\of x\) 和 \(x^{1/3}\) 視為同義詞。

   假如 10 年級習得多項式微分之後，能夠進一步推論微分的乘法公式與除法公式（都可以用多項式的代數操作推導出來），那麼實際上已經可以將基本的導函數公式 \[[x^n]^\prime=nx^{n-1}\] 推廣正整數的 \(n\) 推廣到負整數的 \(n\)，例如 \[\left({1\over x^2}\right)^\prime = [x^{-2}]^\prime=-2x^{-3}=-{2\over x^3}\] 這裡為倒數的次方寫成負指數提供了正當理由。

   在 11 年級，或者在 10 年級差異化教學的進階課程裡，我們至少有兩種方式可以教導 \[\left[\sqrt x\right]^\prime={1\over2\sqrt x}\] 於是為根式的有理指數形式提供了正當理由： \[\left[x^{1/2}\right]^\prime = \frac12 x^{1/2-1}=\frac12 x^{-1/2}\]

   其實，在真實的數學發展脈絡中，有理指數具備明確的動機，就是「對數」的創造。可惜的是，指數與對數的數值計算已經被吸納在工具裡（計算機），很難在課堂中重現當年創造對數的需求感，因此也不容易重現創造對數的歷程。為了這個遺憾，我們只好利用微分──導函數公式──來創造學習有理指數的動機。