前面幾篇論述了「高一應引進微積分」的「數學課程內部需求」理由，前一篇闡述高一課程的內部需求，此篇闡述高二／高三課程的內部需求。如果在高一藉由代數演算獲得多項式函數的微分、積分知識，在高二可以為導數的「極限」定義提供合理的動機與直觀認識，也可以在「知難行易」的道理之下延拓微分、積分的形式化操作，讓學生有機會提早領略微積分的美感與威力。
極限概念畢竟是數學文化的主流，課程必須把學生帶進主流；多項式進路的微積分，使得極限可以稍慢登場，而且可以為極限做好暖場，使得它有合理的需求，而且學生已經對它的直觀意涵 — 連續函數的圖形所缺的一個點 — 具備經驗。
根據多項式導數的經驗，當多項式函數 $f(x)$ 除以 $x-c$ 得到商式 $q_c(x)$ 而餘 $f(c)$，以下歐幾里得引理（除法原理）的等式對所有實數 $x$ 皆成立： \[f(x) = q_c(x)\,(x-c)+f(c)\] 而學生在高一的多項式微分課程中，已經習得：其實 \[f^\prime(c) = q_c(c)\] 因為 $q_c(x)$ 是 $n-1$ 次多項式，它的變數 $x$ 可以代入任何數而得到值，包括代入 $x=c$。
可惜這套技術不能延拓到其他函數，例如 $\sin x$ 和 $2^x$，因為我們不再能對這些函數做「除法」計算。可是我們可以仿照歐幾里得引理的形式，將 $q_c(x)$ 寫成分式： \[q_c(x) = {f(x)-f(c)\over x-c}\] 問題發生了：一旦寫成分式，就不能將 $x=c$ 代入 $q_c(x)$ 了！如果「強行」代入，會出現 \[q_c(c) = {f(c)-f(c)\over c-c}=\frac00\] 這種窘境。事實上，分式函數（有理函數） \[g_c(x) = {f(x)-f(c)\over x-c} \text{ 在 }x=c\text{ 無定義}\] 很容易作圖觀察 $y=g_c(x)$ 的圖形缺了一個點，而那個點就是我們需要的 $(c, q_c(c))$。
「極限」就是數學「拯救」上述窘境的方法。觀察 $y=g_c(x)$ 的圖形，很容易直觀判定 $g_c(x)$ 所缺那個點的 $y$ 坐標，也就是 $q_c(c)$。沿著 $y=g_c(x)$ 的圖形從左邊、從右邊靠近缺的那一點，都會達到同一個值。像這種情況，我們就說那個值是 \[\lim_{x\to c}{f(x)-f(c)\over x-c}\] 也就是說： \[\text{數學用 }\lim_{x\to c}{f(x)-f(c)\over x-c}\text{ 供應了 }{f(c)-f(c)\over c-c}\text{ 的需求}\]
根據多項式提供的經驗，高二學生有較多的機會認同 $\displaystyle\lim_{x\to c}$ 的需求，以及它的直觀意義。接下來，學生很可能就要探究如下「非多項式」的挑戰： \[\lim_{x\to0}{\sin x\over x}\quad\text{以及}\quad \lim_{x\to0}{2^x-1\over x}\] 當角的度量單位為弳時，前者有「漂亮的」答案 — 事實上，這是高中數學引進弧度量的正當理由 — 但是後者必須以數值形式處理。
針對前述第二個極限，課程當然不能直接說答案是 $\ln2$。但課程可以帶領學生認知 \[\left[a^x\right]^\prime = L_a\;a^x\] 的一般性公式，其中 $L_a$ 是個隨底數 $a$ 改變的常數。在這裡，出現了探究以下問題的動機：
哪一個特別的底數 $a$ 可以使得 $L_a=1$？這樣引導出歐拉常數 $e\approx 2.7183$，並引導出唯一的微分不變量：$[e^x]^\prime =e^x$。
許多大一學生是這樣被微積分課程打敗的：在還沒機會見識微積分的優美與威力之前，就被如山一般高的前置作業打敗了。這種情形在十七、十八世紀並未發生，當時的「樸素微積分」（Naive Calculus）並不需要先打下嚴謹的基礎，可以輕快地習得多項式函數的微積分，然後形式化地延拓到其他函數，趕緊先用微積分解決問題，不急著打好數學基礎。我倡議的「多項式進路」微積分課程，就是希望重現十八世紀以前的「樸素微積分」。事實上，考諸於日本、香港以及歐洲的高中微積分課程，關於三角、指對函數的微分公式，基本上都是告知的，此事實與我的主張不謀而合。相對而言，我們倡議的「多項式進路」微積分更為嚴謹，而且更有助於學習：因為，在「告知」微積分公式之前，學生已經在高一多項式函數的範圍內獲得真確的知識，到了高二只是將高一的知識「用同樣形式」延拓而已。
例如微分乘法律、除法律，雖然只在多項式函數範圍內證明（推論）過，但其形式可以沿用到其他函數，例如 \[ [x\sin x]^\prime=\sin x + x\cos x\] 再者，雖然連鎖律只在 $[f(x)]^m$ 形式上經過驗證（其中 $f(x)$ 僅為多項式函數），但延拓這個形式，可以獲得二次曲線的切線斜率，例如在橢圓 \[\frac{x^2}2+y^2=1\] 上任一點（除了左、右頂點以外），在方程式兩側微分，得到 \[x + 2y\,y^\prime=0\] 所以切線斜率為 $\displaystyle y^\prime=-\frac{x}{2y}$。
類似地，連鎖律提供另一種推導 $[\sqrt x]^\prime$ 公式的方法。令 $y=\sqrt x$，則 $y^2=x$ — 這也可以視為拋物線方程式 — 則 $2y\,y^\prime=1$，所以 \[\left[\sqrt x\right]^\prime=y^\prime={1\over 2y}={1\over2\sqrt x}\]
進一步認識多項式函數的連鎖律本質之後，課程可以將它推廣到 \[\left[\sin u\right]^\prime =\cos u\cdot u^\prime\quad\text{以及}\quad \left[e^u\right]^\prime = e^u\cdot u^\prime\] 這些一般性微分公式。然後，得知 $[e^x]^\prime=e^x$ 之後，可以如此推導 $\ln x$ 的導函數：令 $y=\ln x$，則 $e^y=x$，在等號兩側微分則是 $e^y\,y^\prime=1$，所以 \[\left[\ln x\right]^\prime = y^\prime = {1\over e^y}={1\over x}\] 而自然對數的一般性微分公式應該要表達為 \[\left[\ln u\right]^\prime = {u^\prime\over u}\]
我們承認：在高中數學課程中，以上都是「形式」延拓，高中時期沒有時間深入嚴謹的推論，也沒有必要這樣做：因為一旦進入嚴謹的領域，打敗無數學子的情形就要上演了。數學的嚴謹性知識還是必要的，但是值得商榷的是：對多少人而言是必要的？它要成為高中生、大學生的「國民素養」？還是數學領域人士的「專業素養」？
這種類型的課程規畫，是基於「知難行易」的哲學。
從導函數推論原函數圖形的性質，以及此系統知識在最佳化問題的應用，皆可自然而然地延拓到「非多項式」函數。而積分的關鍵事實：不定積分即反導函數，定積分有面積的意涵、位移的意涵、總量意涵以及機率意涵，皆可以直接從多項式的經驗延拓出來。這些延拓，可以「解放」高中數學的範圍，解放之後的高中數學就不必受限於傳統的題型及解題技巧了。