國中階段學了一件非常要緊而且稍微令人意外的基本性質： 圓周上任一點的切線垂直其幅線。 其中「幅線」意思是從圓心到圓周那一點的射線， 而「切線」是與圓恰交於圓周那一點的直線。 這個性質和國中時期的許多幾何性質並列，或許並沒有受到特殊的關注。 本文分享它在（不久的）未來數學課程中的重要角色， 以及它對前代數學家的重要啟發，藉此呼籲：圓切線性質應該浮現於眾多幾何性質之上， 它值得特殊關注。
因為幅線垂直於切線，所以它其實是「法線」：過切點且與切線正交的直線。 但法線觀念在切線之後，而幅線在切線之前，所以本文都說幅線而不提法線。
對照下圖，它顯示第一象限內的單位圓。令 \(P\) 是圓周上一點，\(x\) 是以「弳」為單位的幅角 — 亦即以橫軸正向為始邊，逆時針旋轉至 \(OP\) 射線的有向角 — 也就是說從點 \((1,0)\) 到 \(P\) 的弧長為 \(|x|\)。 在此配置下，點 \(P\) 到橫軸的距離即 \(\sin x\)。 取 \(\Delta x\) 為一差距（difference，\(\Delta\) 唸 Delta）， 雖然理論上 \(\Delta x\) 可以是任意非零實數，但操作上應取 \(|\Delta x|\) 為不太大的數，使得角 \(x+\Delta x\) 的終邊 — 也就是 \(OQ\) 射線 — 仍然落在第一象限。另外，理論上 \(\Delta x\) 可以是負數，但我們僅以 \(\Delta x\gt0\) 為例，\(\Delta x\lt0\) 的情形都可以推論出一樣的結果。令 \[\Delta \sin x = \sin(x+\Delta x)-\sin x\] 則圖中在點 \(Q\) 下方的紅色粗線段為 \(\Delta\sin x\)， 而 \(PQ\) 弧長為 \(\Delta x\)。
微分的思考訣竅是：在很微小的尺度下，函數或方程式圖形等於它的切線。 現在以點 \(P\) 為參考點，拉近 (zoom in) 到 \(P\) 的微小範圍內， 此時差距 \(\Delta x\) 是絕對值非常非常小但又不是零的數， 改記作 \(dx\)，稱為微量 (diffrential)。如果 \(Q\) 是單位圓上幅角為 \(x+dx\) 的點，則弧 \(PQ\) 就是過點 \(P\) 的切線！ 另一方面，弧 \(PQ\) 的長度是 \(dx\)，點 \(Q\) 下方的鉛直線段長是 \(d\sin x\)。 如下圖。
所謂「微分」意思是「微量的分數」或者「微量相除的商」， 所以又稱為「微商」，其意義是「微量的變化率」(rate of differential changes)， 而微分的結果稱為導數 (derivative)。 總之，\(\sin x\) 在 \(x\) 的微分意思是： \[\frac{d\sin x}{dx}\] 我們做一條過點 \(P\) 的水平輔助線（綠色），它平行於橫軸。 因為切線垂直於幅線，所以角 \(OPQ\) 是直角。 此直角被水平線分割成兩個角。 下方的角就是 \(P\) 的幅角 \(x\) — 內錯角相等， 所以上方的角是 \(x^\perp\)：\(x\) 的餘角，可見 \[\frac{d\sin x}{dx}=\sin x^\perp=\cos x\] 於是牛頓如此發現了：\(\sin x\) 的導數是 \(\cos x\)，簡記為 \[[\sin x]^\prime=\cos x\]
完全一樣的程序，但是要注意當 \(x\) 長大一點點，\(\cos x\) 縮小一點點， 則可以推論 \(\cos x\) 的導數是 \(-\sin x\)。記作 \[\frac{d\cos x}{dx}=[\cos x]^\prime = -\sin x\]
以上推論都在第一象限進行，但兩條公式都可以推廣到任意實數 \(x\)。
所謂微分方程 (differential equation) 就是根據未知函數與其導函數的關係， 寫成方程式，然後求解該未知函數。 最初步的微分方程應該是自由拋射物，但是那種微分方程僅涉及導數： \[y^{\prime\prime} = -g,\quad x^{\prime\prime}=0\] 並沒有展示未知函數與其導數的關係。 涉及「函數及其導數」關係的入門微分方程，便是圓。
令 \(y\) 是 \(x\) 的函數且滿足切線垂直於幅線， 將此性質翻譯成量化的符號：幅線是原點 \(O\) 與函數圖形上一點 \(P(x,y)\) 決定的直線，所以它的斜率是 \(\displaystyle m=\frac y x\)。 而微分 \(\displaystyle\frac{dy}{dx}\) 的幾何意義就是切線斜率，所以 \[\frac{dy}{dx} = -\frac1m=-\frac x y\] 「通分」之後即 \[y\,dy=-x\,dx\] 等號兩側皆做反導函數，即 \[\frac12 y^2=-\frac12 x^2+C_1\] 整理成 \[x^2+y^2=C\] 其中 \(C\) 是待定常數。假如函數圖形與橫軸正向的交點為 \((r,0)\)， 則 \(C=r^2\) 得到圓方程式 \(x^2+y^2=r^2\)。 當然，前面假設 \(y\) 是 \(x\) 的函數，所以嚴格來說所得的解是上半圓或下半圓， 不過這個小細節很容易處理掉。
正規數學課程中，皆以泰勒展開來推論歐拉公式： \[e^{ix}=\cos x+i\sin x\] 但是高斯平面上的圓切線性質卻可以「啟發」歐拉公式。 關鍵之一是 — 運用微分連鎖律 (chain rule) — \[[e^{ix}]^\prime = ie^{ix}\] 大家知道：把複數 \(z\) 詮釋為高斯平面上一點時，\(iz\) 即為 \(z\) 逆時針旋轉直角，如下圖。
將 \(e^{ix}\) 詮釋為平面向量時，\([e^{ix}]^\prime\) 即其切向量。 令 \(x\) 為實數，複數 \(z=e^{ix}\) 在高斯平面上的圖形（軌跡）滿足「切線垂直於幅線」， 而且 \(z(0)=e^0=1\) 所以圖形通過坐標平面的點 \((1,0)\)， 可見 \(z\) 的圖形（軌跡）是高斯平面上的單位圓。 另一方面，展開 \(z=a+bi\) 且 \(z^\prime=iz\) 意味著 \[a^\prime=-b,\quad b^\prime=a\] 而且 \(a(0)=1\)、\(b(0)=0\)，則 \(a(x)=\cos x\)、\(b(x)=\sin x\) 的謎底就呼之欲出了。