數學教「識」

圓周角性質第二重要

上星期我剛寫一篇〈圓切線性質的來世〉呼籲「圓切線性質」— 圓切線正交幅線 — 是圓的幾何性質當中第一重要的，應該要浮出於眾多幾何性質之上。當時就想著，哪天來寫我心目中第二重要的圓性質：「圓周角性質」— 對同弧的圓周角相等（且它們是圓心角之半）— 在課程中，通常我們先教後者（圓心角之半）然後推論前者，但我呼籲這兩個性質還是有層次：「圓周角相等」應該有基本素養的位階，而「圓心角之半」是技術層面的下一步，可以不列入基本素養，只要求將須學習正弦定律的學生即可。

本來還想拖延一下，沒想到馬上就發生了機會。學科中心在 9 月 30 日發布了第 220 期電子報，簡廷豐老師藉用 114 年學測數學 A 第 17 題展示「鷹架式命題」：

簡廷豐（2026）。奠基大考試題的鷹架式命題—以 114 年學測數學 A 第 17 題為例。高中數學學科中心電子報。〔數學科教學資源庫〕

我發現這一題正好合適介紹「圓周角性質」。相對於廷豐老師展現的「豐富多元」，我想要提供「樸素單純」的看法。廷豐老師表現的是高中階段的一題多解，而我想要拉進國中：雖然技術上屬於高中（餘弦定律），但概念上屬於國中。期盼簡老師和我這「簡單二人組」用同一題帶給讀者雙重享受。

我先將大考中心的原題貼在這裡：

根據簡老師引述大考中心的統計，此題非常「難」：答對率僅 14%。當年剛公佈試題時，我粗糙地想一下「兩次餘弦定律」就翻篇了，沒有多想也沒有動手做。直到現在讀簡老師的文章才詳細看它，我得說「非常喜歡」這一題。我認為它不但不該成為「難題」，甚至可以說是 108 課綱理想之中的「素養題」。它成為「難題」是很不幸的，一部分因為 108 課綱期望的計算機（科學型電算器）融入教學沒有實現，但也有一部份是因為教學目標未能抓住「素養導向」的大觀念。這麼基本素養的問題「淪落」成難題，真是令人遺憾。

前面提及電算器不是借題發揮。引進電算器，希望達成的效果之一是讓求角的問題不要停留在 \(\sin\) 或 \(\cos\) 而是在算出 \(\sin\) 或 \(\cos\) 之後補上臨門一腳：按 \(\sin^{-1}\) 或 \(\cos^{-1}\) 把角算出來。如果這個步驟落實了，學生可望更明白「知道 \(\cos\) 就等於知道了角」— 此後我只寫 \(\cos\) 但意思包含 \(\sin\) 甚至 \(\tan\)。

也許此題「難」在計算步驟多。這倒也是。那我仍然要說：算術、代數操作能力減弱，是無可逆轉的時代趨勢；與其堅持學生要苦練筆算，還是不如准用電算器吧。我們何必訓練全體學生放下兵器，苦練「肉搏」呢？

我希望在後文表達：

114A17 這一題的樸素觀點就該是「圓周角性質」。
三角形全等條件不僅用來「求證」，更實際的用途是：給定全等條件可「求作」唯一的一種三角形，搭配正弦、餘弦定律可以完整確定它的三邊長與三內角；過分偏重全等條件的求證功能，忽略求作功能，是有違素養的教學習慣。
國中和高中都是「中學」或「中等教育」，兩者是連貫的，期許高中教師都能毫無障礙地隨手引用國中內容；特別是幾何內容，國中的平面幾何要作為高中坐標幾何（含三角與向量）的基礎。
算出 \(\cos\) 就等於算出了角，手上算的是 \(\cos\) 但心中看到的是角。

此題的第一個挑戰就是：沒有提供簡圖。依我個人的教學習慣，如果要設計學習鷹架給學生，第一層鷹架就是畫圖。但是畫圖之前要先看到角，所以更基本的素養是從 \(\cos\) 看到角。

鷹架一、素養一：看到餘弦看到角

為行文方便，本文令 \(\angle B:=\angle ABC\)。題目說 \(\displaystyle\cos B=-\frac18\)，讀到這裡應該反射 \(\angle B\) 是鈍角；用計算機反算，知道 \(\angle B\approx97^\circ\)。但考生不能知道這麼準確，起碼要知道它比直角稍微大一點。因此，考生應察覺題目給了三角形的 SAS 條件，\(\triangle ABC\) 是等腰三角形，至少要畫一張草圖。我模擬考生徒手繪圖如下。

鷹架二：依文字描述繪圖、素養二：三角形外接圓

接著要做 \(\triangle ABC\) 的外接圓。這屬於基本素養：三角形必有外接圓，其他多邊形都不一定有；等腰三角形的外接圓心在底邊中垂線上，而鈍角三角形的外接圓心在三角形之外；後面這一則不屬於基本素養，遇到狀況時再摸索一下即可。

然後要從 \(B\) 畫另一條弦（兩端點在圓上的線段）\(BD\)，長度為 4，也就是比 \(\triangle ABC\) 的腰長一些。考生應該憑直覺知道 \(BD\) 有兩種可能，如以下的左圖和右圖。（除非外接圓的直徑恰為 4，此時 \(\overline{AD}=\overline{CD}\)，但考生應該沒時間想這麼多。）

這就是為何題目要指定 \(\overline{CD}\geq\overline{AD}\)；所以右圖才符合題意。

最後，所求是弦 \(\overline{CD}\)，或者看成 \(\triangle BCD\) 的一邊長。為行文方便，本文令 \(x:=\overline{CD}\)。如下圖。

鷹架三：解題策略、素養三：圓周角性質

觀察圖形，假如學到了國中的圓性質素養，第一個念頭應該發現 \(\angle D=\angle A\)。考生應該要有信心：這一題的評量目標就是圓周角性質，解題的鑰匙一定是 \(\angle D=\angle A\)。

運用「綜合」思考：假如知道 \(\angle D\)，可以求 \(x\) 嗎？考生應該看到：如果知道 \(\angle D\)，則 \(\triangle BCD\) 有 SSA 條件。一般而言 SSA 可以畫出兩種三角形，還好題目指定了 \(\overline{CD}\) 是比較長的那個選擇，而且答案已經給了 \(+\) 號，所以大膽相信：將會可以從兩個解當中選出一個來。

接著運用「分析」思考：假如算出 \(\angle A\) 就能得知 \(\angle D\)。怎樣算出 \(\angle A\) 呢？

鷹架四、素養四：全等條件完整決定三角形

前面已經察覺 \(\triangle ABC\) 有 SAS 條件，假如學到了高一三角比連結國三全等條件的素養，第一個念頭就該是：只要善用正弦或餘弦定律，必定可以算出 \(\angle A\)。

九年級的「全等條件」可以說是「決定」唯一一種三角形的定性性質。因為國中弱化了三角比，使得三角形的全等性質變成「螺旋」課程，不能在國中畢其功於一役，必須等到十年級的正弦定律、餘弦定律才大功告成。觀察美國、德國的教材，全等性質和正弦定律、餘弦定律是一起教學的，有他們的道理。合在一起的學習目標是：

根據任一種全等性質，例如 SAS 或 SSS，搭配正弦定律、餘弦定律可以完整算出三角形的三邊長及三個角。

因為課程的切割，因為不使用計算機，全等性質被侷限在「求證」的教學，學生普遍缺乏上述「求作」的素養。

「分析」回去，假如要用正弦定律算 \(\angle A\)，需要知道 \(\overline{AC}\) 和 \(\sin B\)；這個策略需要兩次推論。假如用餘弦定律算 \(\angle A\)，只需要知道 \(\overline{AC}\)，僅需一次推論，顯然比較划算。為行文方便，本文令 \(b:=\overline{AC}\)；它是 \(\angle B\) 的對邊。

再「分析」一步，怎樣算 \(b\) 呢？這個很明顯，它就是餘弦定律的標準形式： \[\text{對邊}^2 = \text{兩邊平方和} - 2\,\text{兩邊乘積}\,\cos\text{夾角}\] 這就回到題目的條件了，很有信心這是可行的策略。

鷹架五：執行策略

直接將題目給的 SAS 條件代入餘弦定律，算出 \[b^2 = 9 + 9 - 2\cdot3\cdot3\cdot\cos B=18-(-\frac18)18=\frac{81}4\] 也就是 \(\displaystyle b=\frac92\)，看到這麼漂亮的數據，更增強信心：這是考官精心設計的數據。

此時 \(\triangle ABC\) 三邊長都知道了，再代入餘弦定律求 \(\angle A\)： \[3^2 = 3^2 + (\frac92)^2 - 2\cdot3\cdot\frac92\cdot\cos A\] 消去等號兩側的 \(3^2\)，移項得到 \[27\cos A=\frac{81}4\] 這裡的計算有點小複雜了，假如有計算機就好了 — 三百元的科學型計算機就可以做分數的加減乘除，以及帶分數、假分數的轉換 — 解出 \(\displaystyle\cos A=\frac34\)。

最後，將 \(\triangle BCD\) 的 SSA 條件代入餘弦定律： \[3^2 = 4^2 + x^2 -2\cdot4\cdot x\cdot\cos D\] 再代入 \(\displaystyle\cos D=\frac34\) 為 \[9 = 16 + x^2 -8\cdot\frac34 x\] 整理成 \[x^2 - 6x + 7=0\] 取比較大的那個解，即為所求。

延伸

此題的外接圓直徑究竟是多少？這個問題是正弦定律的應用，而正弦定律是「圓周角性質」的技術延伸。前面曾說這個延伸是次要的，只要給「將來須學正弦定律」的國中生。另外再說吧。

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shann@math.ncu.edu.tw