數學英文

學校數學基本假設

Fundamental Assumption of School Mathematics (FASM)

Any formula that is valid for all rational numbers is also valid for all real numbers.

對有理數成立的公式，皆可延伸至實數。

所謂「學校」school 指的是高等教育（tertiary education）以下的所有學習階段。 但是 FASM 基本上是為了處理 irrational numbers 而存在的，所以跟小學 （elementary school 或 primary school）無關， 主要關心的是初中（secondary school 或 middle school）、 高中（high school）、技術型高中（vocational school） 數學課程（mathematics curriculum）裡的一個基本問題：

中學數學課程其實只能展示（demonstrate）有理數的性質， 但是在概念上（conceptually）卻必須延伸到所有實數（extend to real numbers）。

舉例而言，加法交換律（commutative law of addition 或者 commutativity of addition） 和乘法交換律（commutative law of multiplication 或者 commutativity of multiplication） 都只能在有理數範圍內說明，卻必須應用在無理數，例如 \[\sqrt2+\sqrt3=\sqrt3+\sqrt2\] 和 \[\sqrt2\times\sqrt3=\sqrt3\times\sqrt2\]

這個現象造成部份老師和學生的困擾，更麻煩的是創造一些偽證明 (fake proof)， 徒增學習負擔。因此，美國加州大學柏克萊分校（University of California, Berkeley， 簡稱 UC Berkeley）的伍鴻熙教授（Professor H. Wu） 建議所有中學老師、學生直接接受 FASM 就好了， 不要再去懷疑它，也不必證明它。 對於有興趣學習全部真相的學生，推薦她／他（she or he）到數學系修課。 我很支持這個建議，因為它跟數學公設性的（axiomatic）思維方式完全一致。

類似的情況也發生在次方運算：中學生其實只能明白有理數指數 rational exponent （on the premise that the base is positive）， 但是在概念上必須接受任意實數的指數，例如 \(2^{\sqrt2}\) （two to the power of root two）。 數值上（numerically）反而是沒問題的，計算機（calculator）或電腦（computer） 會自動取概數做計算，例如 \(2^{\sqrt2}\) 先 approximate the irrational exponent \(\sqrt2\) 為有理數（有限小數，finite decimal） 1.4142135623， 然後做 rational exponent 的計算 \(2^{1.4142135623}\) 得到 approximation 2.665144143。