數學英文

概數

不論 rational number 還是 irrational number， 當它寫成十進制數字的時候，就是 the decimal representation for a real number， 經常會有太多位小數，many nonzero digits after the decimal point， 這時候就需要取概數。 取概數或「逼近」的動詞是 approximate，而概數是 approximation (名詞)。 取概數的方法有以下三種：

四捨五入：round 或 round off

電腦軟體通常用 round 當作指令名稱。 例如把 \(\sqrt2\) 四捨五入到小數點下第四位： Round \(\sqrt2\) off to the fourth decimal place，其中 off 可省略。 得到 \(\sqrt2\approx 1.4142\)：\(\sqrt2\) is approximately one point four one four two。

無條件進位：carry 或者說 round up

電腦軟體通常用 ceiling 或縮寫的 ceil 當作指令名稱，ceiling 是天花板的意思。 例如每半小時計費一次的停車場， 會 round up 你的停車時間 to the nearest half hour。

無條件捨去：chop 或者說 round down

電腦軟體通常用 floor 當作指令名稱，floor 是地板的意思。

一般而言，小數點下第 k 位就是 the k-th decimal place。 但是小數點下前三位通常另外說十分位、百分位、千分位：tenth, hundredth, thousandth。 例如在試卷指引上寫 round all decimals off to the nearest thousandth （其中 off 可以省略）意思是把所有小數都四捨五入到千分位， 整數或分數就不該取概數。 相對的，十位、百位、千位是 tens, hundreds, thousands。

如果不只針對小數，任何數都要取概數的話，可以用有效位數溝通。 例如 round your answers to three significant digits 就是要求把答案一律寫成三位有效數字。 譬如 72,954 rounded to three significant digits is 73,000。

反過來，問 73,000 有幾個有效數字 the number of significant figures of 73,000 是個不恰當的問題，但如果將它寫成科學記號數字 \(7.30\times10^4\) 就很清楚表示有三位有效數字。 \(7.30\times10^4\) 可以按照輸入計算機的程序，簡單說成 7.30 exponent 4。 相對於普通記號 decimal notation， 科學記號 scientific notation 可以明確表示有效位數。 Scientific notation \(a\times10^n\) 的係數 coefficient a 的學名是 mantissa。

因為取概數而產生的誤差，稱為 rounding error， 四捨五入產生的誤差特別說是 round off error 或 roundoff error。