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貝斯定理

貝斯定理 (Bayes' theorem) 又稱為貝斯定律 (Bayes' rule)， 可以視為一條進階的機率定律。 貝斯又常被寫成貝氏，這些名稱都是指 Thomas Bayes (1701-61)， 那個定理源自他身後 (posthumous) 發表的一篇論文（由他的朋友整理之後代為發表）。 貝斯定理常被寫成貝氏定理，它是指 Thomas Bayes (1701-61) 的一條公式，英文寫作 Bayes' theorem 或 Bayes' rule，可以視為一條進階的機率算則。 這個定理源自他身後 (posthumous) 發表的一篇論文（由他的朋友整理之後代為發表）。

貝斯 (Bayes) 本身就是姓氏，並不是 Bay 的複數或所有格 ；有人把它音譯成貝葉斯是錯的。 Bayes 的形容詞是 Bayesian，意思是「貝斯風格的」、「貝斯主張的」或「貝斯類型的」， 但貝斯定理應該寫 Bayes 的所有格 Bayes'，意思就是「貝斯的」； 造成所有格的那個撇號，當作數學符號時稱為 prime，當作英文符號時稱為 apostrophe。 把 Bayes 翻譯成「貝氏」不太恰當，我們通常把很多字的洋人姓氏簡稱為某氏， 例如畢達哥拉斯簡稱畢氏，歐幾里得簡稱歐氏，但貝斯只有兩個字，何必改稱貝氏？ 本文倒是贊成把 Bayesian 翻譯成貝氏。 另外，不論 Bayes 還是 Bayesian 都有人翻譯成貝葉斯，但英語的發音並不像貝葉斯。

貝斯定理的基本形式非常簡單，就是以下公式： \[P(A\mid B)={P(B\mid A) P(A)\over P(B)}\] 公式的證明也很容易，只不過是條件機率的定義的簡單變化而已。 這個定理的真正偉大之處，是公式背後關於「機率是什麼」的哲學思維。 這個哲學如今稱為 Bayesian probability，譯作貝氏機率──它不是另一種機率的數學理論，而是「機率有什麼意義」的一種詮釋──根據這種對於機率的詮釋所做的推論統計， 稱為 Bayesian inference，譯作貝氏推論。

貝氏機率認為機率是個人對於可能性之量化表述 (quantification of a personal belief)，有些人說它是期望的功效 (expected utility)，但是這個說法仍然沒有可靠的數學定義， 所以大致而言貝氏機率被認為是主觀的，又稱為主觀機率 (subjective probability)。 對於機率持此信念的人，稱為貝氏主義者 (bayesian)。

相對於貝氏機率的另一種「機率是什麼」的哲學觀點，稱為頻率機率 (frequentist probability)，作此主張的人，就稱為頻率主義者 (frequentist)。 這一派認為機率是重複試驗之發生比率的極限：

The limit of an event's relative frequency in many trials.

至於古典機率／理論機率 (theoretical probability) 並不必然引用貝氏或頻率的機率觀。 假如使用機率的那人，事先 (a priori) 假設某試驗發生任何一項結果的可能性相等， 那人就相當於採用了主觀機率；如果某人執行試驗非常多次而在可靠的誤差範圍內， 確認每一項結果的發生比率相等，則那人採用了客觀機率。

在缺乏大量觀察或者無法重複試驗的不確定情況 (uncertainty) 下， 例如金融市場的波動或剛開始發生大規模傳染病的時候， 大概只有貝氏機率派得上用場。 在 1950 年代 (nineteen fifties) 以前，貝氏機率被稱為「反機率」(inverse probability)。 因為它在技術上用來從 \(P(B\mid A)\) 計算 \(P(A\mid B)\)。 臺灣的數學課程，從 108 課綱才開始引進貝氏機率之概念。