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貝斯定理

貝斯定理 (Bayes' theorem) 又稱為貝斯定律 (Bayes' rule), 可以視為一條進階的機率定律。 貝斯又常被寫成貝氏,這些名稱都是指 Thomas Bayes (1701-61), 那個定理源自他身後 (posthumous) 發表的一篇論文(由他的朋友整理之後代為發表)。 貝斯定理常被寫成貝氏定理,它是指 Thomas Bayes (1701-61) 的一條公式,英文寫作 Bayes' theorem 或 Bayes' rule,可以視為一條進階的機率算則。 這個定理源自他身後 (posthumous) 發表的一篇論文(由他的朋友整理之後代為發表)。

貝斯 (Bayes) 本身就是姓氏,並不是 Bay 的複數或所有格 ;有人把它音譯成貝葉斯是錯的。 Bayes 的形容詞是 Bayesian,意思是「貝斯風格的」、「貝斯主張的」或「貝斯類型的」, 但貝斯定理應該寫 Bayes 的所有格 Bayes',意思就是「貝斯的」; 造成所有格的那個撇號,當作數學符號時稱為 prime,當作英文符號時稱為 apostrophe。 把 Bayes 翻譯成「貝氏」不太恰當,我們通常把很多字的洋人姓氏簡稱為某氏, 例如畢達哥拉斯簡稱畢氏,歐幾里得簡稱歐氏,但貝斯只有兩個字,何必改稱貝氏? 本文倒是贊成把 Bayesian 翻譯成貝氏。 另外,不論 Bayes 還是 Bayesian 都有人翻譯成貝葉斯,但英語的發音並不像貝葉斯。

貝斯定理的基本形式非常簡單,就是以下公式: \[P(A\mid B)={P(B\mid A) P(A)\over P(B)}\] 公式的證明也很容易,只不過是條件機率的定義的簡單變化而已。 這個定理的真正偉大之處,是公式背後關於「機率是什麼」的哲學思維。 這個哲學如今稱為 Bayesian probability,譯作貝氏機率──它不是另一種機率的數學理論,而是「機率有什麼意義」的一種詮釋──根據這種對於機率的詮釋所做的推論統計, 稱為 Bayesian inference,譯作貝氏推論。

貝氏機率認為機率是個人對於可能性之量化表述 (quantification of a personal belief),有些人說它是期望的功效 (expected utility),但是這個說法仍然沒有可靠的數學定義, 所以大致而言貝氏機率被認為是主觀的,又稱為主觀機率 (subjective probability)。 對於機率持此信念的人,稱為貝氏主義者 (bayesian)。

相對於貝氏機率的另一種「機率是什麼」的哲學觀點,稱為頻率機率 (frequentist probability),作此主張的人,就稱為頻率主義者 (frequentist)。 這一派認為機率是重複試驗之發生比率的極限:

The limit of an event's relative frequency in many trials.
因為執行試驗並記錄結果是客觀的,所以被稱為客觀機率 (objective probability)。

至於古典機率/理論機率 (theoretical probability) 並不必然引用貝氏或頻率的機率觀。 假如使用機率的那人,事先 (a priori) 假設某試驗發生任何一項結果的可能性相等, 那人就相當於採用了主觀機率;如果某人執行試驗非常多次而在可靠的誤差範圍內, 確認每一項結果的發生比率相等,則那人採用了客觀機率。

在缺乏大量觀察或者無法重複試驗的不確定情況 (uncertainty) 下, 例如金融市場的波動或剛開始發生大規模傳染病的時候, 大概只有貝氏機率派得上用場。 在 1950 年代 (nineteen fifties) 以前,貝氏機率被稱為「反機率」(inverse probability)。 因為它在技術上用來從 \(P(B\mid A)\) 計算 \(P(A\mid B)\)。 臺灣的數學課程,從 108 課綱才開始引進貝氏機率之概念。

[語音講解:bayes.mp3]

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Created: Feb 7, 2023
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