數學英文

次方運算

次方運算 exponentiation 就像加減乘除，是二元運算 binary operation， 也就是把兩個元素 two operands 轉換成第三個元素的運算 operation。 但是，不像加減乘除這些運算子 operators 有習慣的符號 symbols， 次方卻用上標 superscript 的方式，把 exponent 寫成 base 的 superscript， 就看不到運算符號了。 反而電腦語言常用 caret 符號 ^ 作為次方運算子 power operator， 例如 2^3=8，讓我們看清「次方」也是一種 binary operation。 在計算機 calculator 上，power operator 通常是 [\(x^y\)] 按鍵。

次方像減法、除法運算，它們是不可交換的：not commutative。 例如 2^3 和 3^2 是不一樣的：\(2^3\not=3^2\)， two to the power of three is not equal to three to the power of two。 它們也不符合結合律：not associative，例如 \[4^{\displaystyle(3^2)} \not= {(4^3)}^2 \] Four raised to the power of three squared is not equal to four to the power of three and then squared. 如果不用括號 parentheses 指定運算順序（order of operation）， 則次方運算應該由上而下 top-down。 例如 \[4^{\displaystyle3^2} = 4^9 = 262,144\] Four to the power of three to the power of two 應該從上面算下來， 先算 3² 得到 9，再算 4⁹。

不符合結合律的運算，都要規定計算的方向。 減和除（minus and division）是左起的（left-associative）， 意思是說：一個以上的連減或連除，要從左算到右（start from the left），例如

但是次方是右起的（right-associative）， 意思是說：一個以上的連續次方，從右算到左（start from the right），例如

在符號上，我們規定任何數的 1 次方就是它自己 \(a^1 := a\)， 包括 a 是負數或零在內：The first power of any number is the number itself。 前面的「\(:=\)」Colon-Equals-To 符號的意思是「定義為」，讀作 is defined to be， 例如 a to the power of one is defined to be a。

我們可以推論 1 的任何次方都是 1── \(1^u=1\)──Any power of one is one。 我們也可以推論 0 的任何正數次方都是 0：\(0^u=0\)， zero to any positive exponent equals zero。 零的負數次方無定義：Negative powers of zero are undefined， \(0^0\) 則是 context dependent 所以不做一般性的定義。