數學英文

重心

重心 (center of mass) 是物理概念，意思是對物體的那一點施力只會造成線加速度而不會產生角加速度。 數學課所說的重心，意思其實是形心 (centroid) 或幾何中心 (geometric center)。 真實的物體都是三維的（空間中的立體物）， 但是當它很薄，薄得厚度可以不計，或者它的厚薄變化可以用質量分布 (mass distribution) 來表現，也就是可以把厚度寫進雙變數密度函數裡 (density function of two variables)， 那個物體就可以被視為二維的平面圖形。 同理，當物體細到直徑可以不計，或者它的粗細變化可以用單變數密度函數來表現， 它就可以被視為一維的曲線。 當密度函數是常數函數 (constant function) 時，重心就是形心。

直線段的形心就是它的中點 (midpoint of a line segment)， 這是 trivial case（顯然且無聊的情況），無須討論。 而一般曲線的形心需要微積分，在中學難以處理。 所以中學通常只處理平面圖形的形心。

理論上，平面圖形皆有唯一的形心； 當然這裡說的平面圖形是指平面區域 (plane region 或者就說 region)： 平面上由簡單封閉曲線圍成的區域。 用均勻材質的薄板切割出來的任意平面圖形，都能以實驗方式找到它的重心。 但是數學上，僅能處理特殊平面圖形的形心：

• 圓盤 (disk) 的形心就是圓心。
• 正多邊形的形心就是它的中心 (center of a regular polygon)， 也就是它的外接圓圓心。
• 三角形的形心：
  • 位在任兩條中線 (medians) 的交點；所謂「中線」是連接頂點與對邊中點的線段：

    The median of a triangle is the line segment joining a vertex with the midpoint of the opposite side.

  • 位在任一條中線 \(2:1\) 處的內分點 (inner division point)：

    The centroid divides the medians in the ratio \(2:1\).

    （靠頂點處為 2，with 2 on the vertex side。）
  • 如果知道每個頂點的坐標，則形心坐標 \((\bar x, \bar y)\) （\(\bar x\) 讀作 x bar）就分別是所有頂點的 \(x\) 坐標、\(y\) 坐標的平均值。

如果知道線段兩端點的坐標，則分點公式 (section formula) 可得分點 (division point) 的坐標。外分點公式 (external section formula) 的道理跟內分點公式 (internal section formula) 其實是一樣的， 它們也分別是內插 (interpolation) 和外插 (extrapolation) 的原理。