數學英文

條件命題

數學的簡單命題有時僅關注一個特定狀況 (a particular case)， 例如「\(x^2=10\) 有解」，但也可能涵蓋無窮多種情況或無窮多物件， 例如「質數有無窮多個」：

There are infinitely many prime numbers.

質數命題是反證法 (proof by contradiction) 的經典範例。 先假設只有有限多個質數，也就是可以列舉全部的質數， 然後推論出矛盾的 (contradictory) 結果： 至少有一個不在這些「全部」質數之中的質數。 所以推翻了前述假設，也就是質數不是有限多個， 在修辭上「不是有限多」(not finitely many) 就說是「無窮多」(infinitely many)。

具有一般性 (generality) 的數學命題，經常是條件命題 (conditional statements)， 例如「若 \(a\geq0\) 則 \(x^2=a\) 有解」。 這種一般性命題通常也都涵蓋無窮多種特例 (infinitely many cases)。

數學裡的條件命題俗稱為「若 \(P\) 則 \(Q\)」(if \(P\) then \(Q\)) 或者「\(P\) 惟若 \(Q\)」(\(P\) only if \(Q\))， 記作 \(P\Rightarrow Q\)，雙槓右箭頭 \(\Rightarrow\) 是 implication symbol， 讀作 \(P\) implies \(Q\)。 其中 \(P\) 稱為此條件命題的假設 (hypothesis)， 而 \(Q\) 稱為此命題的結論 (conclusion)。 另外，\(P\) 稱為 \(Q\) 的充分條件 (sufficient condition)， 反過來 \(Q\) 稱為 \(P\) 必要條件 (necessary condition)，或者說

\(P\) is sufficient for \(Q\), and \(Q\) is necessary for \(P\).

條件命題 \(P\Rightarrow Q\) 似乎強調 \(P\) 的充分性 (sufficiency)。 若要強調 \(Q\) 的必要性 (necessity)，可以把它寫在前面：\(Q \Leftarrow P\)， 讀作 \(Q\) if \(P\) 或者 \(Q\) is implied by \(P\)。

如果 \(P\) 和 \(Q\) 互為充分且必要條件，簡稱充要條件， 注意英文則習慣把必要說在前面：a necessary and sufficient condition， 則記作 \(P \Leftrightarrow Q\) 讀作「\(P\) 若且惟若 \(Q\)」 (\(P\) if and only if \(Q\)) 或者「\(P\) 等價於 \(Q\)」 (\(P\) is equivalent to \(Q\))。

數學的定義習慣在形式上使用「若 \(P\) 則 \(Q\)」的條件語句， 但它其實是「等價」的意義。例如「解」的定義是

若某數 \(a\) 能使 \(f(a)=0\) 則稱 \(a\) 是方程式 \(f(x)=0\) 的「解」。
If \(f(a)=0\) for a number \(a\), then \(a\) is said to be a solution of the equation \(f(x)=0\).

「若且惟若」在中國大陸稱為「當且僅當」。