數學英文

條件命題

數學的簡單命題有時僅關注一個特定狀況 (a particular case), 例如「\(x^2=10\) 有解」,但也可能涵蓋無窮多種情況或無窮多物件, 例如「質數有無窮多個」:

There are infinitely many prime numbers.

質數命題是反證法 (proof by contradiction) 的經典範例。 先假設只有有限多個質數,也就是可以列舉全部的質數, 然後推論出矛盾的 (contradictory) 結果: 至少有一個不在這些「全部」質數之中的質數。 所以推翻了前述假設,也就是質數不是有限多個, 在修辭上「不是有限多」(not finitely many) 就說是「無窮多」(infinitely many)。

具有一般性 (generality) 的數學命題,經常是條件命題 (conditional statements), 例如「若 \(a\geq0\) 則 \(x^2=a\) 有解」。 這種一般性命題通常也都涵蓋無窮多種特例 (infinitely many cases)。

數學裡的條件命題俗稱為「若 \(P\) 則 \(Q\)」(if \(P\) then \(Q\)) 或者「\(P\) 惟若 \(Q\)」(\(P\) only if \(Q\)), 記作 \(P\Rightarrow Q\),雙槓右箭頭 \(\Rightarrow\) 是 implication symbol, 讀作 \(P\) implies \(Q\)。 其中 \(P\) 稱為此條件命題的假設 (hypothesis), 而 \(Q\) 稱為此命題的結論 (conclusion)。 另外,\(P\) 稱為 \(Q\) 的充分條件 (sufficient condition), 反過來 \(Q\) 稱為 \(P\) 必要條件 (necessary condition),或者說

\(P\) is sufficient for \(Q\), and \(Q\) is necessary for \(P\).
在程式語言裡,conditional statements 是指 if-then-else 這種條件語句。

條件命題 \(P\Rightarrow Q\) 似乎強調 \(P\) 的充分性 (sufficiency)。 若要強調 \(Q\) 的必要性 (necessity),可以把它寫在前面:\(Q \Leftarrow P\), 讀作 \(Q\) if \(P\) 或者 \(Q\) is implied by \(P\)。

如果 \(P\) 和 \(Q\) 互為充分且必要條件,簡稱充要條件, 注意英文則習慣把必要說在前面:a necessary and sufficient condition, 則記作 \(P \Leftrightarrow Q\) 讀作「\(P\) 若且惟若 \(Q\)」 (\(P\) if and only if \(Q\)) 或者「\(P\) 等價於 \(Q\)」 (\(P\) is equivalent to \(Q\))。

數學的定義習慣在形式上使用「若 \(P\) 則 \(Q\)」的條件語句, 但它其實是「等價」的意義。例如「解」的定義是

若某數 \(a\) 能使 \(f(a)=0\) 則稱 \(a\) 是方程式 \(f(x)=0\) 的「解」。
If \(f(a)=0\) for a number \(a\), then \(a\) is said to be a solution of the equation \(f(x)=0\).
在形式上,看起來是 \[f(a)=0\;\Rightarrow\; a \text{ is a solution}\] 但其實它是 \[f(a)=0\;\Leftrightarrow\; a \text{ is a solution}\] 的意思。

「若且惟若」在中國大陸稱為「當且僅當」。

[語音講解:conditional.mp3]

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Created: Aug 12, 2022
Last Revised: 12/01
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