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圓錐曲線

圓錐曲線是 conic sections，簡稱 conics，直譯應該是圓錐截痕，稱它為「截痕」是因為：它是一個對頂錐 (double cone) 的側面 (lateral surface) 與一張平面的交集，在那張平面上造成的圖形。

對頂錐是這樣建立的：給定空間中夾一個銳角 $\alpha$ 的兩相交直線 \(L\) 和 \(G\)，稱其交點為 \(A\)。將直線 \(L\) 設定為鉛直軸 (vertical axis)，以 \(G\) 為母線 (generatrix) 繞 \(L\) 旋轉而成的曲面，就是對頂錐；前面說的點 \(A\) 就是此對頂錐的頂點 (apex)，而 $2\alpha$ 稱為它的頂角；直圓錐或對頂錐的頂角是 aperture，它也翻譯成「光圈」。

三大類圓錐曲線：hyperbola、parabola、ellipse 的希臘字根分別是 hyper：超過（盈）、para：恰好、不足（虧）的意思，它們是根據曲線上某個量相對於一個給定參考線段 (latus rectum) 的長度，是恰好還是盈虧而命名的；latus rectum 是「在旁邊直立」的意思，如今 rectum 是直腸的學名。將這三類平面曲線整合為圓錐截痕，並且用空間幾何的方法來研究它們，是古希臘的偉大「發明」，以阿波羅紐斯 (Apollonius of Perga) 為代表。

古希臘的盈虧意義，如今已經不方便說明，不妨改用圓錐與截平面的夾角來說明。設有一平面 \(E\) 與對稱軸 \(L\) 交於頂點外的一點，而 $\theta$ 是 \(L\) 和過那一點的法線所夾的銳角或零角，圓錐截痕 $\Gamma$ 是平面E上的曲線。那麼，當 $\theta$ 恰好是 $\alpha$ 的餘角（記作 $\alpha^\prime$），$\Gamma$ 就是 parabola（拋物線）；當 $\theta$ 不足 $\alpha^\prime$，也就是 $0^\circ\le\theta\lt\alpha^\prime$，$\Gamma$ 是 ellipse（橢圓，將圓視為橢圓的特例）；當 $\theta$ 超過 $\alpha^\prime$，也就是 $\alpha^\prime\lt\theta\lt90^\circ $，$\Gamma$ 是 hyperbola（雙曲線）。當平面 \(E\) 平行於對稱軸 \(L\)，如果 \(E\) 不包含頂點 \(A\)，則 $\Gamma$ 還是雙曲線，但如果 \(E\) 包含 \(A\)，則 $\Gamma$ 是退化的 (degenerate) 雙曲線：兩條相交的直線 (two intersecting lines)。

「橢圓」的意思是壓扁或拉長的圓 (a squashed or stretched circle)，橢圓上任兩點決定的線段稱為弦 (chord)，通過中心點 (center of the ellipse) 的弦都稱為直徑 (diameter)，其中兩條直徑也是橢圓的對稱軸 (lines of symmetry)，較長那一條稱為長軸 (major axis)，較短的稱為短軸 (minor axis)。若將半長軸、半短軸 (semi-major axis, semi-minor axis) 分別記作 \(a\) 和 \(b\)，則橢圓面積公式很簡單：$\pi a b$，但橢圓的周長公式就難了。

橢圓上長度為 latus rectum 且垂直於長軸的弦，有兩條，克卜勒 (Kepler) 將它們與長軸的兩個交點命名為 foci（focus的複數）。Focus 是拉丁文「火爐」的意思，取名的原因可能是克卜勒發現行星軌道是橢圓，而太陽位於其中一個 focus。於是清朝的數學家把 focus 譯作焦點，而 latus rectum 譯作正焦弦。

有了直角坐標之後，數學家發現圓錐曲線涵蓋所有二元二次方程式 (bivariate quadratic equation) 的圖形，通稱為二次曲線 (quadratic curves)。其中 parabola 是二次函數圖形，而它是拋射物 (projectile) 的運動軌跡，所以 parabola 譯作拋物線。Hyperbola 譯作雙曲線是因為它有兩支 (two branches)，反比函數 (reciprocal function) 的圖形是一種雙曲線。

圓錐曲線都有焦點–準線作圖法 (focus-directrix construction)，但它們都是在阿波羅紐斯之後才發現的，而且它們都不符合尺規作圖的規範。