數學英文

逆否與對偶

有些命題在修辭上看似簡單，其實卻是條件命題，讀者需要有轉換的能力。 例如「菱形的對角線互相垂直」意思如下； 先假定一個大前提：令 \(T\) 是個四邊形。

若 \(T\) 是菱形，則 \(T\) 的對角線垂直
[\(T\) is a rhombus] \(\Rightarrow\) [diagonals of \(T\) are perpendicular]

如果要證明一般性的數學命題為真／成立 (is true / holds)， 不能只舉一個例子，甚至舉三個例子也不行，一定要保證無窮多種特例都成立才行。 數學證明 (proofs) 就有這樣的本領。 數學論述為了維持一般性，必須使用很多符號 (symbols)， 並且使用符號做邏輯推理 (symbolic inference)， 因此而顯得抽象 (abstract)。

前面那個菱形命題的假設 (hypothesis) 是

\(P\)：\(T\) is a rhombus

\(Q\)：diagonals of \(T\) are perpendicular

條件命題 \(Q\Rightarrow P\) 稱為 \(P\Rightarrow Q\) 的逆命題 (converse statement)。 命題 \(P\Rightarrow Q\) 的真偽並不影響逆命題 \(Q\Rightarrow P\) 的真偽， 一般而言 (generally)：

\((P\Rightarrow Q) \not\equiv (Q\Rightarrow P)\)
\((P\Rightarrow Q)\) is not equivalent to \((Q\Rightarrow P)\)

若要否證 (disprove) 具有一般性的數學命題， 例如「對角線垂直的四邊形為菱形」， 只要舉一個反例 (one counterexample) 就行了。 所謂反例就是符合 \(Q\Rightarrow P\) 的假設 \(Q\)〔對角線垂直〕 但是違背結論 \(P\)〔菱形〕的一個特例。 例如取 \(T\) 為任一個對角線不等長的箏形就可作為反例 (serves as a counterexample)。

命題 \(P\Rightarrow R\) 和它的 converse \(R\Rightarrow P\) 也可能同時成立，那就是等價的狀況了：\(P\Leftrightarrow R\)，例如

\(T\) 是菱形若且惟若 \(T\) 的對角線互相垂直平分
[\(T\) is a rhombus] \(\Leftrightarrow\) [diagonals of \(T\) are perpendicular and bisect each other]

命題 \(P\Rightarrow Q\) 也跟它的否命題 (inverse statement) \(\neg P\Rightarrow\neg Q\) 無關。 其中 \(\neg\) 是否定 (negation) 符號，\(\neg P\) 讀作「非 \(P\)」(not \(P\))， 此時 \(\neg P\) 意思是「\(T\) 不是菱形」， 而 \(\neg Q\) 意思是「\(T\) 的對角線不垂直」。 那麼 \(\neg P\Rightarrow\neg Q\) 也是錯的，同樣可以用箏形當作反例： 箏形不是菱形（符合 \(\neg P\)），但它的對角線互相垂直（違背 \(\neg Q\)）。

至於 \(P\Rightarrow Q\) 和它的對偶命題 (contrapositive，又譯作逆否命題) \(\neg Q\Rightarrow\neg P\) 就真的等價了：

\((P\Rightarrow Q) \equiv (\neg Q\Rightarrow\neg P)\)
A conditional and its contrapositive are both true or both false.

在前面的例子裡，contrapositive \((\neg Q\Rightarrow\neg P)\) 的意思是

若 \(T\) 的對角線不互相垂直，則 \(T\) 不是菱形

邏輯可以應用到自然語言 (natural languages，例如中文或英文)， 但是邏輯的學習最好藉由數學命題， 而不宜使用人造的、做作的例句 (contrived examples)， 就像「如果下雨我就帶傘」：

If it rains, I will bring an umbrella.