數學英文

分數小數互換

convert 104/137 分數和小數是同一種數──不足一的數──的兩種表達方式。 以前不常用小數,是因為只有分數才能算出正確結果,小數經常不精確。 但是後來發現分數雖然精確但是難以實踐,小數雖然有誤差但是可以解決實際問題。 例如將近 2000 年前的《九章》有一題答案是 \(\displaystyle8{104\over137}\) 元這種金額:它雖然正確但是難以支付。 幸好後來有了轉換分數為小數 (convert fractions to decimals) 的演算法 (algorithm),就是我們在小學學過的直式除法/長除法 (long division),如右圖, 其中 long division symbol 稱為除法括號 (division bracket 或 long division symbol)。

分數與小數這兩種表達形式 (expressions) 的轉換, 寫成等式 \(\displaystyle8{104\over137}=8.759\cdots\),其中 \(\cdots\) (點點點,dot-dot-dot)是省略號 (ellipsis), 讀作 et cetera 或 and so forth。 這個等式可以說成 \(\displaystyle8{104\over137}\) 的小數表達 (expressed in decimal form) 是 \(8.759\cdots\)。 配合社會上出現「角/毛」(dime: 1/10 of a dollar)、「分/毫」(cent: 1/10 of a dime) 這些貨幣, 雙方可協議將 \(\displaystyle8{104\over137}\) 這種金額, 改為支付 8 元 7 毛 5 分或 8 元 7 毛 6 分 (8 dollars 76 cents); 雖然不精確,但是可執行。

所有分數都可以轉換成小數,當化為最簡分數之後的分母僅有 2 和 5 兩種質因數時:

there are only prime factors of 2 and 5 in the denominator
那樣的分數可以轉換成有限小數,其他分數都轉換成循環小數。 反過來,有限小數和循環小數都可以轉換成分數, 但是不循環的無窮小數都不能轉換成分數。 例如 \[0.10010000100\cdots\] 在小數點下第 1、4、32、42、... 位為 1 其他位皆為 0 的無窮小數,不能轉換成分數。

[語音講解:convert.mp3]

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Created: July 29, 2022
Last Revised: 9/18
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