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複數平面

複數平面 (complex plane) 是直角坐標平面的另一種詮釋：將點坐標從有序對 \((x,y)\) 改成複數 \(x+yi\)；因此，水平軸就改稱實軸 real axis，鉛直軸改稱虛軸 imaginary axis。如此一來，平面上的點就像數一樣可以做加減乘除了，因此可以把複數視為「平面數」；相對地，實數就是「直線數」。

令 \(z=a+bi\)，其中 \(a,\,b\in\mathbb{R}\)。\(a+bi\) 稱為複數 \(z\) 的直角形式 rectangular form，這個名稱顯然來自直角坐標 (rectangular coordinates)。就好像實數平面上有直角坐標和極坐標 (polar coordinates)，複數平面也有極坐標形式，稱為極式 polar form。複數 \(z\) 的極式有以下幾種記號： \[z=r(\cos\theta +i\sin\theta) = re^{i\theta} = r\,\text{cis}\,\theta\] 在學校裡，甚至可以用 \(z=r\angle\theta\) 簡記。極式和直角形式的關係是 \[r=|z|=\sqrt{a^2+b^2},\quad \theta=\arg(z)\] 其中 \(r\) 稱為 \(z\) 的長度 magnitude 或絕對值／模 modulus，\(\theta\) 稱為 \(z\) 的幅角 argument 或相位角 phase，它就是平面上以原點經過 \(z\) 的射線為終邊 (terminal side) 的角，任一個同界角 (coterminal angle) 都可以，但幅角習慣以「弳」為單位 (in radians)。在所有同界的幅角當中，在 \((-\pi,\pi]\) 範圍內的幅角，稱為主幅角

the principal value of the argument 或者 the principal argument

在複數的極式中， \[e^{i\theta}=\cos\theta +i\sin\theta\] 就是著名的歐拉公式 Euler formula。從它可以將指函數的定義域推廣到複數，同理可以推廣對函數的定義域到 \(0\) 以外的複數。例如 \[e^{i\pi}=\cos\pi+i\sin\pi=-1,\quad\text{and}\quad e^{i\pi/2}=\cos{\pi\over2}+i\sin{\pi\over2}=i\] 所以 \[\ln(-1)=\pi i=\text{Arg}(-1)\,i,\quad\text{and}\quad \ln i={\pi\over2}i=\text{Arg}(i)\,i\]

令 \(\zeta=c+di=s\angle\phi\) 是非零複數（\(\zeta\) 讀作 zeta，\(\phi\) 讀作 phi），則 \[{z\over\zeta}={z\,\overline\zeta\over|\zeta|^2} ={r\over s}\angle(\theta-\phi)\] 比較它們的直角形式和極式： \[{1\over s^2}\left((ac+bd)+i(ad-bc)\right) ={r\over x}\left(\cos(\theta-\phi)+i\sin(\theta-\phi)\right)\] 可以連結複數與向量：將 \(\displaystyle \boldsymbol{z}={a\choose b}\) 和 \(\displaystyle \boldsymbol{\zeta}={c\choose d}\) 分別視為向量時，以上等式導出了內積 inner product──又稱為純量積 scalar product──和行列式 (determinant) 公式： \[\boldsymbol{z}\cdot\boldsymbol{\zeta}=|\boldsymbol{z}|\, |\boldsymbol{\zeta}|\,\cos(\theta-\phi) \quad\text{and}\quad \det(\boldsymbol{z},\boldsymbol{\zeta})=|\boldsymbol{z}|\, |\boldsymbol{\zeta}|\,\sin(\theta-\phi)\] 其中 \(\theta-\phi\) 就是從 \(\boldsymbol{\zeta}\) 旋轉到 \(\boldsymbol{z}\) 的有向角，而 \(|\theta-\phi|\) 就是 \(\boldsymbol{z}\) 與 \(\boldsymbol{\zeta}\) 的夾角 (the angle between vectors \(\boldsymbol{z}\) and \(\boldsymbol{\zeta}\))。

可見複數的運算性質包含了平面向量 (vectors in the plane)。平面向量能做的事，複數都能做，而且複數做得更多。事實上，在數學發展史中，平面向量並不存在。向量從一開始就是空間向量 (vectors in space)，後來為了空間向量的教學而將它簡化成平面向量。