數學英文

立體物的視圖

有 (a) 一個、(b) 兩個、(c) 三個消失點的立方體透視圖。

       
立方體的正視圖（左）與斜的平行視圖（右）。

三角柱 (prism) 的一種展開圖。

在平面上表現立體物 (representing solids on a plane) 是數學溝通 (mathematics communication) 的重要項目， 它是畫法幾何 (descriptive geometry) 在學校課程中的簡單應用。 數學課專注於視圖的基本原理，在工程 (engineering)、設計 (design)、電腦圖學 (computer graphics) 等領域有更專業的發展，通稱為三維投影 (3D projection)。

首先要了解：數學不採用透視圖 (perspective projection)， 所以數學的立體物圖示跟視覺經驗、攝影 (photography)、美術繪圖 (drawing) 有所不同。 在透視圖裡，物體上互相平行的稜邊可能朝向消失點 (vanishing points) 而靠近， 所以它們在平面圖上並不平行。 下圖呈現有一個、兩個、三個消失點的立方體透視圖；我們看到有些正方形變成梯形。

相對地，數學圖示採用平行視圖／平行投影 (parallel projection)， 意思是固定一個成像的平面 (image plane) 或投影面 (projection plane)， 以彼此平行的視線 (lines of sight 或 sight lines 或 visual axes) 或投影線 (projection lines) 將物體投影在平面上。 因為真正的視線應該交於觀察點 (viewpoint) 而非平行， 所以平行視圖並不符合視覺經驗， 可是它確保空間中彼此平行的直線，在圖示中也是平行的， 所以它適合數學溝通之用。

當平行視圖的視線垂直於投影面時，稱為正視圖／正投影／正射影 (orthographic projection)。 當正視圖同時呈現立方體的三個面時，它們都是非正方形的菱形，如以下的左圖； 而斜的平行視圖 (oblique projection) 反而可以看到一個正方形，如以下的右圖。 正視圖和斜視圖都是常用的圖示法。

三視圖 (three-view drawing 或 multiview projection) 是特殊的正視圖。 想像我們按一般的習慣建立空間坐標：\(x\) 朝向自己，\(y\) 軸朝右，\(z\) 軸朝上。 想像物體放在第一卦限，盡力讓它有最多的面平行於坐標平面， 有最多的稜（或對稱軸）平行於坐標軸。 這時候，物體在 \(yz\) 平面的正射影稱為前視圖 (front view)， 也常稱為立面圖 (elevation view)； 在 \(xy\) 平面的正射影稱為上視圖／俯視圖 (top view)， 也常稱為平面圖 (plan view)； 物體在 \(xz\) 平面的正射影稱為側視圖或右視圖 (lateral/side view)。 有必要的話，三視圖最多可以給六幅圖，這六幅圖都稱為主視圖 (primary views)； 沒必要的話，也可以只給其中一幅主視圖，例如呈現一片很薄的板子，就只需要上視圖。 有些設計軟體會把視窗分割成四塊，其中三塊呈現三幅主視圖， 第四塊呈現一幅輔助圖 (an auxiliary view)， 它是某種視角 (viewing angle) 的正視圖。

生活中的長方體物件，例如書桌、衣櫃、樓房，前視圖的長方形兩邊會說寬 (width) 和高 (height)，而上視圖的長方形兩邊則會說寬和深 (depth)。 如果長方體有一邊很短，則會稱那一邊為厚 (thickness)。

另外兩種有助於了解立體物的平面圖是展開圖 (net) 和截面圖／剖面圖 (cross-sections)。例如右圖是三角柱的一種展開圖 (a net for the prism)。 展開圖有助於計算立體物的表面積 (surface area)， 而剖面圖有助於用積分計算立體物的體積。