把二元一次聯立方程按照未知數的順序排列好： \[\left\{ \array{ax+by=h\\cx+dy=k} \right.\tag{1}\] 將方程的係數 \(a\)、\(b\)、\(c\)、\(d\) 分離出來，算出一個數 \[ad-bc\] 就是方程 \((1)\) 的 determinant，直譯為「決定者」，它可以「決定」(determines) 方程 \((1)\) 是否有唯一解？
將方程 \((1)\) 的係數分離出來，自然排列成方形，古文稱為「行列」（直行橫列）： \[\array{a & b\\c & d}\] 將這個「行列」算出 determinant 的符號，有以下兩種記號： \[\left|\array{a & b\\c & d}\right| =\det\left(\array{a & b\\c & d}\right):=ad-bc\] 中文就翻譯成「行列式」了。
單純使用消去法 (elimination of unknowns) 就能推論：若且唯若 \(\displaystyle\left|\array{a & b\\c & d}\right|\not=0\) 時，方程 \((1)\) 有唯一解：
The system of equations \((1)\) has a unique solution if and only if the determinant is nonzero.引進解析幾何之後，也能看出行列式可以做「決定」的原因：\(ad-bc=0\) 等價於 \(a:b=c:d\)，也就是 \(a\)、\(b\) 和 \(c\)、\(d\) 成比例 (in proportion)，所以方程中的兩條直線平行或者重疊：
Lines in the system of linear equations are either parallel or coincident.所以沒有唯一交點，也就等價於方程沒有唯一解。
當方程 \((1)\) 的 \(\displaystyle\left|\array{a & b\\c & d}\right|\not=0\)，它的公式解是 \[x={\displaystyle\left|\array{h & b\\k & d}\right|\over \left|\array{a & b\\c & d}\right|},\quad y={\displaystyle\left|\array{a & h\\c & k}\right|\over \left|\array{a & b\\c & d}\right|} \] 稱為克拉瑪公式 (Cramer's rule)。就二元線性聯立方程而言，克拉瑪公式很簡單，但它厲害的是可以推廣到 \(n\) 元線性聯立方程。關鍵是：\(n\) 階行列式 (determinant of order \(n\)) 怎麼算？
萊布尼茲 (Leibniz) 帶頭發現將三階行列式 (determinant of order 3 或 the third order determinant) 降為一串二階行列式的算法： \[\left|\array{a & b & c\\d & e & f\\ g & h & k}\right|=a\left|\array{e & f\\g & h}\right| -b\left|\array{d & f\\g & k}\right| +c\left|\array{d & e\\g & h}\right|\tag{2}\] 拉普拉斯 (Laplace) 將它推廣到 \(n\geq4\) 階的情況：遞迴地 (recursively) 利用 minors 將 \(n\) 階行列式降階 (to reduce the order) 為 \(n-1\) 階。所謂 minor 是去掉一行與一列 (removing one row and one column) 之後的行列式，中文譯作「餘子式」，不如直接說英文。而 minor 賦予恰當的正負號之後，稱為 cofactor（餘因子）。例如在 \((2)\) 式中，\(\displaystyle\left|\array{d & f\\g & k}\right|\) is the minor of \(b\)，\(\displaystyle-\left|\array{d & f\\g & k}\right|\) is the cofactor of \(b\)。而 \((2)\) 式是三階行列式沿著第一列的拉普拉斯展開：
the Laplace expansion along the first row預先警告 (be forewarned)：以上行列式算法僅適合低階行列式 (lower order determinants)，並非一般性的理想算法。
在直角坐標上，另外發現了行列式的幾何意義 (geometric meaning)： \[{1\over2}\Bigl|\left|\array{a & c\\b & d}\right|\Bigr| ={1\over2}\Bigl|\det\left(\array{a & c\\b & d}\right)\Bigr|\] 是由原點 \(O(0,0)\) 和 \((a,b)\)、\((c,d)\) 兩點為頂點的三角形面積；式子外側的 \(\bigl|\cdot\bigr|\)──the outer pair of vertical bars──表示絕對值。
| [語音講解：det.mp3] |