發展出向量 (vector) 之後，行列式 (determinant) 可以用向量改寫。例如二階行列式可以視為兩個平面向量的運算： \[\left|\array{a & c\\b & d}\right|= \bigl|\array{\boldsymbol{u} & \boldsymbol{v}}\bigr|,\text{ 其中 } \boldsymbol{u}={a\choose b},\; \boldsymbol{v}={c\choose d}\] 而且，行列式的一個代數性質是：將向量直排或橫排組成的行列式，
(column vectors in a row or row vectors in a column)只要順序相同，其值就相等。例如： \[\bigl|\array{\boldsymbol{u} & \boldsymbol{v}}\bigr| =\left|\array{\boldsymbol{u}^T \\ \boldsymbol{v}^T}\right|\] 其中 \(\boldsymbol{u}^T=(a,b)\) 就是 \(\boldsymbol{u}\) 的橫式（列向量），而 \(\boldsymbol{u}^T\) 讀作 u transpose（u 的轉置）。具體而言： \[\left|\array{a & c\\b & d}\right|= \left|\array{a & b\\c & d}\right|\] 以上形式可以推廣到 \(n\) 階行列式與 \(n\) 維向量，\(n\) 為正整數；當 \(n=1\)，一階行列式就是那個數本身： \[\det(a)=a\] 以 \(n=3\) 為例， \[\left|\array{a & b & c\\d & e & f\\ g & h & k}\right| =\left|\array{a & d & g\\b & e & h\\ c & f & k}\right| =\bigl|\array{\boldsymbol{u} & \boldsymbol{v} & \boldsymbol{w}}\bigr| =\det(\boldsymbol{u}, \boldsymbol{v}, \boldsymbol{w})\] 其中 \(\boldsymbol{u}=\left(\array{a\\b\\c}\right)\)、 \(\boldsymbol{v}=\left(\array{d\\e\\f}\right)\)、 \(\boldsymbol{w}=\left(\array{g\\h\\k}\right)\)。
其次，發展出線性組合 (linear combination) 之後，可用來描述行列式的幾何意義：承續前面使用的符號： \[\Bigl|\left|\array{a & c\\b & d}\right|\Bigr| =\Bigl|\det(\boldsymbol{u},\boldsymbol{v})\Bigr|=\text{ 由 }\boldsymbol{u}\text{、}\boldsymbol{v}\text{ 決定的平行四邊形面積}\] \[\Bigl|\left|\array{a & d & g\\b & e & h\\ c & f & k}\right|\Bigr|=\Bigl|\det(\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w})\Bigr|=\text{ 由 }\boldsymbol{u}\text{、}\boldsymbol{v}\text{、}\boldsymbol{w}\text{ 決定的平行六面體體積}\]
任何一種運算，只要可以將線性組合拆開來分別運算，也就是 \[F(ax+by)=aF(x)+bF(y)\] 就稱之為線性運算 (linear operation)，或者說它是線性的 (the operation is linear)，或者說它具備線性性質 (the operation has linearity)。
行列式的每一行都有線性性質 (linearity)，所以稱為 multilinearity，譯作「多重線性」：
The determinant is multilinear.以三階行列式為例，每一行皆滿足以下等式 \[\bigl|\array{\boldsymbol{u} & a\boldsymbol{v}_1+b\boldsymbol{v}_2 & \boldsymbol{w}}\bigr| =a\bigl|\array{\boldsymbol{u} & \boldsymbol{v}_1 &\boldsymbol{w}}\bigr| +b\bigl|\array{\boldsymbol{u} & \boldsymbol{v}_2 &\boldsymbol{w}}\bigr| \] 其次，行列式也是「交替的」alternating：只要有任兩向量相等，行列式為 \(0\)（想像成「抓交替」）。例如，當 \(a:b=c:d\)，也就是說 \(a\)、\(b\) 和 \(c\)、\(d\) 成比例，則 \[\left|\array{a & b\\c & d}\right| =\left|\array{a & c\\b & d}\right| =\left|\array{a & ka\\b & kb}\right| =k\left|\array{a & a\\b & b}\right|=k\cdot0=0\] Multilinearity 和 alternating 的一個應用如下： \[\begin{align}\bigl|\array{\boldsymbol{u}+\boldsymbol{w} & \boldsymbol{v} & \boldsymbol{u}+\boldsymbol{w}}\bigr|&=0\\ &=\bigl|\array{\boldsymbol{u}& \boldsymbol{v}& \boldsymbol{u}}\bigr| +\bigl|\array{\boldsymbol{u}& \boldsymbol{v}& \boldsymbol{w}}\bigr| +\bigl|\array{\boldsymbol{w}& \boldsymbol{v}& \boldsymbol{u}}\bigr| +\bigl|\array{\boldsymbol{w}& \boldsymbol{v}& \boldsymbol{w}}\bigr|\\ &=\bigl|\array{\boldsymbol{u}& \boldsymbol{v}& \boldsymbol{w}}\bigr| +\bigl|\array{\boldsymbol{w}& \boldsymbol{v}& \boldsymbol{u}}\bigr| \end{align}\] 因此推論行列式是反交換的 (anticommutative)──任兩個向量交換使得行列式變相反數： \[\bigl|\array{\boldsymbol{u}& \boldsymbol{v}& \boldsymbol{w}}\bigr| =-\bigl|\array{\boldsymbol{w}& \boldsymbol{v}& \boldsymbol{u}}\bigr|\]
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