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資料分布

描述統計的一大任務是描述資料的分布 (data distribution)。 一組資料通常是從每個調查對象取得一個屬性 (attribute) 的資料（例如學生的視力）， 統計術語稱之為單變量資料 (univariate data)。 所謂分布是指一個變量／一組資料所有可能的值 (value)──又稱為項目 (item)──的發生次數。

列出每個資料值的發生次數，當然是一個分布的描述， 但也可以用比較少的統計量來描述分布。 針對數值資料，可以用四分位數 (quartiles) 描述資料的分布。 Quartiles 是將資料從小到大排序之後 (sorted in ascending order)， 可以將資料分隔四等分的三個數，從小到大依序為第一、第二、第三四分位數。 第二四分位數就是中位數，而第一四分位數 (the first quartile) 又稱為 lower quartile，習慣記作 \(Q_1\)；第三四分位數 (the third quartile) 又稱為 upper quartile，習慣記作 \(Q_3\)。

推廣四分位數，可計算一組資料的百分位數 (percentiles)。 只有當資料量夠大而且資料的不同數值夠多（至少要超過一百種不同的資料數值）， 才值得計算百分位數；以「學測」為例，雖然資料量還算大（考生數量超過十萬）， 但資料的數值卻很少（只有 15 級分），所以不適合用百分位數描述學測成績的分布。 Quartile 和 percentile 都是 quantile 的特例，中學階段沒有 quantile。

集中量數和分散量數都是描述資料分布的統計量。 常用的分散量數有以下三種，它們全都只適用於數值資料。

Range

直譯是「範圍」，在函數脈絡中譯為「值域」，此處的意義相近，但譯作「全距」。 意思是資料的最大值 (maximum) 與最小值 (minimum) 之差， 也就是全部資料的範圍。

Interquartile Range: IQR

第一與第三四分位數（\(Q_1\) 與 \(Q_3\)）之差，就是 IQR：四分位距。 也就是靠中間那一半資料的範圍。 與中位數一樣，離散型資料的四分位數並不唯一，我們必須接受它們的含糊性。

Standard Deviation

標準差，通常縮寫為 stdev 或 SD，習慣記作小寫希臘字母 \(\sigma\)。 標準差是變異數 (variance) 的平方根。 標準差的單位與資料的單位相同，但變異數的單位是資料單位的平方。 在描述統計脈絡中，所謂標準差是「母體標準差」(population standard deviation)， 也就是假設所用的資料就是全部資料， 它的分母是 \(n\)：資料筆數。

想要知道一筆資料在整體資料分布中的相對位置，可以將它換算成 \(z\)-分數 (\(z\)-score)，又稱為標準分數 (standard score)。 相對於標準分數，原本的數值資料稱為原始分數 (raw score)。