因應微積分 (calculus) 的需求而發展出函數觀念， 在當時──西元十七世紀 (the 17th century) 已經存在代數表達式 (algebraic expressions) 就形成了最初的一批函數， 通稱為基本函數 (elementary functions)。 高中學到的函數，以及它們的反函數 (inverse functions)， 差不多就是全部的基本函數了。
單項式 (monomial) 如 \(x^n\) 就形成單項函數 (monomial function) \(x\mapsto x^n\)，其中 \(n\in\mathbb{N}\)。 它的反函數是 radical function：\(x\mapsto x^{1/n}=\root n \of x\)， 讀作 x to the power of one over n 或者 root n of x。 Radical functions 的定義域是非負實數 (nonnegative real numbers)。 Radical function 的中文是根式函數或次方根函數， 比較少講到它，所以不妨直接說英文。 將指數推廣到實數的單項函數稱為冪函數 (power function)：\(x\mapsto x^r\)， 其中 \(r\in\mathbb{R}\)。 注意反比函數 \(x\mapsto x^{-1}\) 是冪函數而不是單項函數。
多項式 (polynomial) 當然就形成多項式函數 (polynomial function)， 我們平常說的 \(n\) 次函數其實是 polynomial function of degree \(n\)。 二次函數和三次函數又特別稱為 quadratic function 和 cubic function。 沒有特別聲明的時候，多項式函數的係數 (coefficients) 都是實數。 但係數可能被限定在 \(\mathbb{Z}\)、\(\mathbb{Q}\) 或 \(\mathbb{C}\)， 那就會聲明為整係數、有理係數、複係數多項式函數：
polynomial functions with complex coefficients
由多項式的分式 (fraction of polynomials) 形成的函數， 稱為有理函數 (rational function)： \[ f(x)={P(x)\over Q(x)} \] 其中 \(P(x)\)、\(Q(x)\) 是多項式函數，且分母 \(Q(x)\) 的次數大於 1： \(\deg Q(x)\gt1\)。 當 \(\displaystyle{P(x)\over Q(x)}\) 已經化到最簡：
when \(\displaystyle{P(x)\over Q(x)}\) is reduced to lowest terms意思是說 \(P(x)\) 和 \(Q(x)\) 的最大公因式 (the greatest common divisor) 是 1， 這樣的分式稱為最簡分式 (irreducible fraction)，而這樣的有理函數的次數 (degree) 是 \(P(x)\) 和 \(Q(x)\) 之間較高的次數，記作 \[\deg f(x) = \max\{\deg P(x), \deg Q(x)\} \] 而 \(f(x)\) 的定義域為實數扣除分母 \(Q(x)\) 的根 (roots)。 所謂「根」就是方程 \(Q(x)=0\) 的解 (solutions)。
中學課程很少討論有理函數，比較常見的可能只有反比函數。 大一微積分課程裡，將會更進一步認識有理函數。
這一篇內複習的函數，通稱為代數函數 (algebraic function)。 其他基本函數──三角函數與指對函數──都屬於超越函數 (transcendental function)。
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