數學英文

方程

代數 (algebra) 起源於求解含未知數的等式 (solving equations with unknowns)， 那樣的等式來自問題中已知和未知 (known and unknown) 的數量關係， 而這樣的等式，在中國古代稱為「方程」， 意思是「方形並列的數」（其實比較像今天說的矩陣 matrix）。

最早的方程並未涉及未知數的次方，如今稱為一次方程 (the first degree equations) 或者線性方程 (linear equations)。 只有一個未知數的一次方程稱為一元一次方程 (first degree equations with one unknown)。 一元一次方程本身沒有實用價值，直接用算術即可解決情境中的問題。 最早的方程就有兩個以上的未知數，而且古人早就發現需要跟未知數一樣多的等式， 才能求解，這就是二元、三元或更多元一次聯立方程 (system of first degree equations in two, three or more unknowns)， 簡稱為線性方程組 (system of linear equations)。

中國早就發明了分離係數 (separating coefficients)， 並不為未知數命名（例如 \(x\)、\(y\) 等），只設定第一、第二個未知數， 然後按照順序把它們的係數並列成方形，所以稱為「方程」。 嚴格來說，古文的「方程」專指「線性方程組」， 如今擴大這個名詞的意義，泛指所有「含未知數的等式或聯立等式」。

西方人並不習慣分離係數，所以這個方法並沒有專用的英語說法， 而是直接描述。例如「多項式相除的分離係數法」就描述為

A technique of polynomial division by only considering the values of the coefficients.

經過未知數的代換 (substitution of unknowns) 或消去 (elimination of unknowns)， 線性方程組最後會化約為 (reduce to) 一元一次方程； 這才是一元一次方程存在的價值， 這也是第一次真的需要做正負數混合計算 (calculation with positive and negative numbers) 的狀況。

Algebra 這個字源於阿拉伯，原文的意思就是運用等量公理 (axioms of equality) 求解一元一次方程的技術。 所謂「移項」(moving terms) 是等量公理的一個「速算技巧」(a shortcut trick)， 但「移項」並不該對譯 transposition。Transposition 的意思是「孤立未知數」 （應該說 isolate the unknown，但更習慣說 isolate a variable）， 這種技術除了移項以外，還包括消除未知數的係數 (remove the coefficient of the unknown)，意思是把未知數的係數化為 1，這個程序就像是把係數轉置 (transpose) 到等號另一側的分母。

當一個或一組數代入等式 (substituting one or more values into an equation) 使得等式成立，也就是等式的命題為真 (the equation is a true statement)， 就稱這些數滿足等式 (satisfy the equation)。 滿足方程組中所有等式的一組數，稱為該方程組的解 (solution to a system of equations)。