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歐氏幾何

中學階段的幾何課題都屬於歐氏幾何 (Euclidean geometry)， 通常說的平面幾何 (plane geometry) 與空間幾何 (solid geometry) 也都是指歐氏幾何， 也就是被希臘人歐幾里得 (Euclid) 寫在《幾何原本》(Elements) 這本書裡的平面與空間幾何知識。 相對而言，不是歐氏幾何的幾何知識就稱為非歐幾何 (non-Euclidean geometry)。 歐氏幾何的特徵就是給定任意直線與線外一點，存在唯一通過該點的平行線： Given a line and a point not on the line, there exists exactly one line through the given point and parallel to the given line. 而這個特徵等價於 (is equivalent to) 三角形的內角和為 180 度。 歐氏幾何觀點之下的空間，又簡稱為平坦的／平直的空間 (flat space)。

歐氏幾何的內容固然是基本的數學知識， 但是它成為文化傳承 (cultural legacy) 的原因不是內容，而是獲得知識的方法。 那就是基於少數的共同前提──分為兩大類：

• 公設／公理 (axioms 或 common notions)：所有理性思考都該同意的共同基礎， 例如「全體大於部份」(the whole is greater than the part)。
• 設準 (postulates)：為了討論特定主題──例如幾何──而必須假定為真的前提， 例如「兩點可作直線」([one can always] draw a straight line from any point to any point)。

經過數學證明 (mathematical proofs) 確認的知識，通稱為定理。 一個文化如果特別關注某樣事物，就會發展出很多細緻的名稱； 例如愛斯基摩有許多雪的名稱、阿拉伯有許多沙的名稱、中國有許多親屬關係的名稱。 數學特別在乎定理，所以對定理有很多細緻的名稱。 在中學階段，許多稱為公式 (formula)──例如海龍公式──或定律 (law)──例如正弦定律──的知識，其實都是定理；到了大學還會遇到以下類型的定理。

• 性質 (proposition)：較為次要的定理（有時候只是表現作者的謙虛）。
• 引理 (lemma)：較小型、比較技術性，但可以用來證明其他重要定理的定理。
• 推論 (corollary)：從大定理經過簡單推理即可得到的定理。

Geometry 這個字本來是「土地測量」的意思， 《幾何原本》試圖為測量建立可靠的基礎知識， 因此《幾何原本》反而不接受操作工具的測量：因為它必然不準確。 所以歐氏幾何的另一項特徵是堅持尺規作圖 (straightedge and compass construction)， 又稱為幾何作圖 (geometric construction)。 特別強調 straightedge 是沒有刻度的直尺，有刻度的直尺稱為 ruler； 尺規作圖的核心思想是：唯有不依賴測量的數學知識，才能成為測量的可靠基礎。