數學英文

事件

隨機試驗（random experiment）的樣本空間（sample space）與事件 (events) 之間的關係，乃至於古典機率／理論機率 (classical/theoretical probability) 的定義，的確都適合使用集合語言，而樸素的 (naive) 集合觀念與符號， 的確不算太複雜，但機率的教學不應該受限於集合符號。 反過來，機率的教學，可以作為學習集合符號的具體動機與範例。

在中學，樣本空間通常以 \(S\) 表示，但是在高等數學經常記作大寫希臘字母 \(\Omega\)；事件的一般性記號通常是 \(E\)，但是視情況可以記作 \(A\)、\(B\)、\(C\) 或任何字串（例如用 Even 表示擲骰子獲得偶數點數）。 當試驗的結果屬於想要探究的事件，說它是一個「想要的結果」(a favorable outcome)。

用集合觀念說，事件是樣本空間的子集合：An event of a random experiment is a subset of its sample space。 對於有限樣本空間 (finite sample space)：只有有限多種 outcomes 的隨機試驗， 它的所有子集合──包括空集合和整個樣本空間──都是事件。 但是對於無限樣本空間 \(S\)，例如 \(S\) 是閉區間 \([-1,1]\)， 或者 \(S\) 是 flip a coin 無窮多次的樣本空間，則 \(S\) 的子集合未必是事件。

關於事件的一些類型如下。

• 單一事件：Single event。
• 餘事件：complementary event；事件 \(A\) 的餘事件 the complement of the event \(A\) 記作 \(A^c\) 或 \(\neg A\)， 意思是 \(A\) 中的結果都沒有發生： the outcomes of \(A\) are not happening。
• 獨立事件：independent events。（這是兩個事件之間的關係，所以一定用複數。）
• 相依事件，也就是非獨立事件：dependent events。
• 複合事件：compound event / multiple event。
  • 臺灣習慣把這個主題當作交集和聯集的應用， 但是西方教科書通常是用語言／文字描述。 而且，至少在學習機率的第一年，當他們用「或」(or) 描述事件時， 意思就是互斥的或 (exclusive-or)， 例如「紅色或藍色」、「梅花或方塊」、「香草或草莓」，不會涉及「有交集」的情況。 也就是說，用「或」連結在一起的事件，在初學時一定是互斥事件 (mutually exclusive events)。
  • 複合事件也包括我們通常用來探討相依或獨立的兩次／多次活動， 例如擲骰子兩次，或者隨機抽出一球但不放回： A ball is taken at random and is not put back into the bag。

當一組事件 \(E_1\)、\(E_2\)、\(\cdots\)、\(E_n\)

• 彼此互斥，或者說彼此無交集 (mutually disjoint)，
• 聯集是整個樣本空間 (have as union the entire sample space)