當自變數 \(x\) 在次方的底數位置，形成的函數 \(x\mapsto x^r\) 為冪函數 (power function)； 把自變數 \(x\) 放在指數位置， 例如將 \(x\) 放上 \(a\) 的指數 (\(a\) raised to the power of \(x\)) 這樣的函數 \(x\mapsto a^x\) 在中學稱為指數函數， 但是英文通常稱 \(y=a^x\) 這種關係為指數成長或衰退 (exponential growth or decay)， 意思是說某個量 \(y\) 以它現存量的固定比率增加或減少：
The quantity increases or decreases at a rate proportional to its current value.這時候自變數 \(x\) 通常代表時間，例如在 1 單位時間之後增加 7%， 則 1 單位時間之後的量是 \((1.07)y\)， 又例如在 1 單位時間之後衰退 (decay 或 decline) 7%， 則 1 單位時間之後的量是 \((0.93)y\)。 衰退又稱為負成長 (negative growth)； 所謂「負成長」意思是 1 單位時間之後的量比現存量少， 而任何量最少就是衰退到 0，不會衰退成負的量。 「負成長」的比率──衰退率 (decay rate)──不會超過 100%， 但「成長」的比率──成長率 (growth rate)──可以超過 100%。 因為 1 單位時間之後的量是 \(a\cdot y\)，其中乘數 (multiplier) \[ a = 1+\text{成長率}\quad\text{或}\quad 1-\text{衰退率}\] 所以 \(0\lt a\not=1\)：
The multiplier \(a\) is greater than zero but not equal to one.在任何一段時間 \(x\) 之後，\(y=a^x\)。
在現代數學的語彙中， 所謂指數函數 (exponential function) 的意思是： 以特定常數──歐拉數 (Euler number) \(e\) ──為底的指數函數 \(x\mapsto e^x\)， 簡稱指函數，它也經常寫成 \(\exp(x)\)，讀作 exponential of x 或 exponential x。 歐拉數 \(e\) 建議讀作「ㄝ」以免跟「1」讀音混淆； 它是無理數，其值 \(e\approx2.7183\)：
The mathematical constant \(e\) is an irrational number approximately equal to 2.7183.
因為任何正數 \(a\) 都滿足 \(a=e^k\)， 所以一般的指數成長或衰退 \(a^x\) 可以改寫成指函數 \(\exp(kx)\)， 其中 \(k\not=0\)──因為 \(a\not=1\)。
如果 \(y=a^x\) 則反過來 \(x=\log_a y\)，這種形式的函數 \(x\mapsto \log_ax\) 就是以 \(a\) 為底的對數函數：
logarithmic function with base \(a\)當底是歐拉數 \(e\) 的時候，\(\log_e\) 特別稱為自然對數 (natural logarithm)，應該記作 \(\ln\)，讀作 long， 但是在許多科學與工程領域中，所謂對數函數就是指自然對數函數， 所以記號還是寫 \(\log\)。 因此，在文獻中讀到 \(\log x\) 時，要留意它的底究竟是 10 還是 \(e\)？
對數函數可簡稱為對函數，所以指數與對數函數可以合併稱為指對函數。
| [語音講解：exp-fcn.mp3] |