數學英文

數學表達式

廣義來說，就連用數目字 (numerals) 寫出來的數 (numbers)，例如 13 和 2.54， 都是數學表達式 (mathematical expressions），或者說「數學式」， 或者就只說「式」或 expressions。 比較狹隘一點來看，只有整數與有限小數才是數（例如 \(-2\) 和 \(3.14\)）， 其他表達數的方式，包括無盡小數（例如 \(1.4142\cdots\)）、 分數（例如 \(\displaystyle{5\over7}\)）、根號（例如 \(\sqrt2\)） 都是式：數式 (expressions for numbers)。

用確定的有理數寫出的四則混合運算式，特別稱為「算術表達式」或「算式」 (arithmetic expressions)，例如： \[[(72-3.8)\div25]\times(4.2\div7)\] 為了鍵盤輸入的方便，乘號 \(\times\) 常換成星號 * (asterisk)， 除號 \(\div\) 換成斜線 / (slash)； 例如前面的算式可以寫成

含等號 (equal sign) 的式稱為等式 (equation)， 含不等號（共有四種 inequality symbols）的式稱為不等式 (inequality)。

日文的「算式」是公式 (formula) 的意思，不是算術表達式； 公式通常是等式，例如「博士熱愛的算式」是 \(e^{i\pi}+1=0\)。 Formula 的複數，古典寫法是不規則變化的 formulae， 但是近代美國人逐漸也常用規則變化：formulas。

含有「以符號代表數」(a symbol that designates a number) 的數學式稱為代數式 (algebraic expression)，例如

\(x-7\)，   \(s+\displaystyle{1\over s}\)，   \(\sqrt{r^2+4}\)

中文稱那個符號為「元」，這個字來自遼宋金夏時期發展出來的「天元術」， 「天元」是未知數的意思。英文很少正式稱呼那個符號， 它的正式名稱應該是 nomial，源自拉丁文的「名字」。

將符號置換成一個確定的數，稱為「代入」(substitution)。 代入之後，代數式就成了算式，可以算出一個數。 例如「將 \(x=10\) 代入 \(x-7\) 得到 3」：

Substitute 10 for \(x\) in \(x-7\) gets 3.
Substitute \(x=10\) into \(x-7\) gets 3.

在代數式裡，確定的數稱為常數 (constant)， 包括像 \(\pi\) 這種符號常數 (symbolic constant)。 常數與符號相乘時， 乘號 \(\times\) 也可以寫成點 \(\cdot\) (dot sign)， 甚至省略不寫，例如 \(2n\) 表示 \(2\cdot n\)， \(ax\) 表示 \(a\times x\)；其中 \(a\) 是另一個代表某數的符號。 不寫乘號的乘式稱為並列寫法 (written as a juxtaposition) 或隱含乘法 (implied multiplication)。

要特別注意的是，當 \(2x\) 寫成隱含乘法時，它的運算優先序 (precedence) 比較高，例如 \[\Bigl[1\div2x={1\over 2x}\Bigr]\;\text{而不是}\; \Bigl[1\div2x=\text{1 / 2 * x}={1\over2}x\Bigr]\] 為了避免以上混淆，所以代數文件幾乎都不寫除式 \(1\div2x\) 而直接寫成分式 (fractional expression) \(\displaystyle{1\over2x}\)。 這就是為什麼代數式裡通常看不到 \(\times\) 和 \(\div\)，只看到 \(+\) 和 \(-\)。 用 \(+\)、\(-\) 和 \(=\) 隔開的式，稱為一項 (a term)。 在代數式的一項裡，符號（也就是「元」）的乘數稱為這一項的係數 (coefficient)。