數學英文

函數的表達

在中學，函數幾乎只有一種表達方式 (representation of functions)： 代數表達 (to represent a function algebraically)， 也就是寫出計算函數之值的公式 (a formula to evaluate the function)。

當 \(y\) 隨著 \(x\) 改變：\(y\) changes/varies according to \(x\)， 我們就說 \(y\) 是 \(x\) 的函數：\(y\) is a function of \(x\)。 此時將 \(x\) 和 \(y\) 寫成方程式的樣子，但是將 \(y\) 獨立在等式的左側：

Get \(y\) alone on the left hand side of the equation.

Make \(y\) the subject of the equation.

函數的名字通常選用 \(f\) 或 \(g\)，它的代數表達例如 \(f(x)=2x+1\)， 這時候寫出了函數和自變數的名字：\(f\) 和 \(x\)，但沒寫應變數。 還有一種寫法是例如 \(x\mapsto 2x+1\)，其中 \(\mapsto\) 讀作 maps to， 這種表達只寫出自變數的名字 \(x\)，沒寫函數也沒寫應變數。

中學課本其實也展示了函數的數值表達 (numerical representation) 和圖形表達 (graphical representation)，但是通常只把它們當作代數表達的應用， 這會造成不必要的誤解：其實函數可以直接用數值或圖形來表達， 而不必先寫出它的代數公式。 例如用儀器畫出一天 24 小時氣溫隨時間變化的圖形， 就是一個用圖形表達的函數，而它的數學公式卻不容易寫出來。

數值表達通常是藉由自變數與應變數的對應表格來呈現， 所以也稱為表格形式 (table representation)。 托勒密 (Ptolemy) 在西元二世紀 (the second century) 公布的弦表 (table of chords) 應該是世界上最早用數值表達的函數──〔固定半徑時〕圓心角對應弦長的函數。 可是那時候根本還沒有函數這個名稱。

函數也可以直接由語言文字來表達 (verbal representation)， 例如令 \(x\in[0,24)\) 表示某日從零時計起的時間（以 hour 為單位）， 函數 \(T(x)\) 是某測站在 \(x\) 時的氣溫。

數列 \(\langle a_1, a_2, \cdots, a_n\rangle\) 可以視為從 \(\{1, 2, \cdots, n\}\) 映射到實數的函數，記作 \[a: \{1, 2, \cdots, n\}\to\mathbb{R}\] 類似地，無窮數列 \(\langle a_1, a_2, \cdots\rangle\) 則可以視為 \[a: \mathbb{N}\to\mathbb{R}\]

當 \(x\) 和 \(y\) 形成一個等式，也就是二元方程式，\(y\) 就與 \(x\) 有某種關係，但未必是函數關係──不一定每個 \(x\) 對應唯一的 \(y\)， 這種情況就說 \(y\) 是 \(x\) 的隱函數 (implicit function)， 也可以稱整個方程式為隱函數，例如圓方程式 \(x^2+y^2=1\) 就是一個隱函數。 隱函數的記號通常寫 \(f(x,y)=0\)；例如 \(f(x,y)=x^2+y^2-1=0\) 就是一個隱函數。