數學英文

函數的運算

函數作為一種數學物件 (mathematical object)， 函數與函數之間就有關係 (relations) 也有互動 (interactions)。

函數之間最基本的關係是：相等（或不等）。 當 \(f\) 和 \(g\) 在同一個定義域上，對每個 \(x\) 都對應同樣的函數值 (function value)，也就是 \(f(x)=g(x)\)，則我們說函數 \(f\) 和 \(g\) 相等， 記作 \(f=g\)；否則它們就不相等，記作 \(f\not=g\)。

兩個函數可能互為反函數 (inverse function)，這種關係需要藉由「合成」(composition) 說明。 函數之間還有一些對稱關係，在以下的運算中說明。

函數可以做係數積 (scalar multiplication)，記作 \(af\)， 其中 \(a\) 是某個常數，意思就是把定義域中每個 \(x\) 的函數值皆乘以 \(a\)； 也就是說，函數 \(af\) 在 \(x\) 的函數值是 \(a\cdot f(x)\)，記作 \[ [af](x) = a\cdot f(x) = af(x)\]

函數的運算 (operations of functions) 就像數一樣，有加減乘除。 兩個函數 \(f\)、\(g\) 也可以做加減乘除而生成新函數，分別記作 \(f+g\)、\(f-g\)、\(fg\)、\(\displaystyle {f\over g}\)， 很容易想像它們的函數值： \[ [f+g](x) = f(x) + g(x),\qquad [f-g](x) = f(x)-g(x),\qquad [fg](x)=f(x)\cdot g(x) \] 由函數加、減、乘法生成的新函數，它的定義域是原來兩個定義域的交集。 由函數除法生成的新函數，它的定義域還要剔除分母為 0 情況： \[ \left[{f\over g}\right](x) = {f(x)\over g(x)} \text{ 其中 } g(x)\not=0 \] 例如當 \(f(x)=x^2-1\)，\(g(x)=x-1\)，它們的定義域都是 \(\mathbb R\)， 但它們相除後的函數 \(\displaystyle {f\over g}\) 的定義域是 \(\mathbb{R}\backslash\{1\}\)。

函數的係數積可以理解為兩個函數相乘，其中一個函數是常數函數 (constant function)。 因為係數積和加減運算，使得函數可以做線性組合 (linear combintion)， 這就使得函數可以被類比為向量。 把函數當作向量來處理，是二十世紀數學的一項重要發展； 中學課程不會探討這件事，但是它很可能出現在大學的應用數學裡。

函數的合成 (function composition) 是函數之間的特殊運算，記作 \(f\circ g\)， 其中圓圈符號 (the circle symbol) \(\circ\) 就是函數的合成算子， 運算產生的新函數稱為合成函數 (composite function)，其函數值的定義如下： \[ [f\circ g](x) = f(g(x)) \] 需要強調圓圈符號的時候，可以讀 oh，也就是

f oh g of x is defined to be f of g of x

The composition is not necessarily commutative.

當 \(f(g(x))=x\) 而且 \(g(f(x))=x\)，我們說 \(f\) 和 \(g\) 互為反函數， 例如說 \(g\) is the inverse of \(f\)。 \(f(x)\) 的反函數記作 \(f^{-1}(x)\)，讀作 f inverse of x。 小心不要把 \({}^{-1}\) 誤解為指數了。 如果要表達 \(f\) 的 \(-1\) 次方，應該寫 \[ [f(x)]^{-1} = {1\over f(x)} \]