函數 (function) 或者特別聲明「數學函數」 (mathematical function) 是十七世紀 (the 17th century) 搭配微積分 (calculus) 而發展的新數學物件 (mathematical object)。 Function 原本是法文，英文也沿用同一個字，這個字直譯為「功能」， 意思是「具有特定效果的作用」。 十七世紀時，為了研究瞬間速度與累積位移， 用這個字代表從時間決定一個運動中的質點位置的「功能」， 特別用來表述「〔決定〕行星的位置是時間的一種功能」：
The position of a planet is a function of time.這句話如今演變成：「行星位置是時間的函數」。 所以，函數的典型意涵就是運動質點的「時間─位置關係」。
函數的不嚴謹 (nonrigorous 或 not rigorous) 定義 (definition)， 在十九世紀受到檢討， 最後用集合論 (set theory) 將它正規化 (be formalized)。 在中學階段，教科書經常使用有限集合之間的對應關係 (a correspondence diagram between finite sets) 解釋函數，這個抽象模型 (abstract model) 跟直覺上容易理解的「時間─位置關係」 (position-time correspondence) 相差甚遠，對於初學者可能並無幫助。
時間─位置關係是學習函數概念的適當切入點： 將自變數 (independent variable) \(x\) 解釋為時間 (time)， 應變數 (dependent variable) \(y\) 解釋為位置 (position)， 則函數的規定：「定義域中每個 \(x\) 都有一個（且僅有一個）對應的 \(y\)」
For each \(x\) of the domain there is one (and only one) corresponding \(y\).這是因為物體在每一瞬間必定處於唯一的一個位置──不會憑空消失，也不會有分身。
時間─位置圖 (position-time graph) 也就是函數圖形 (graph of a function) 的典型範例 (a typical example)。
函數的名字通常用符號 \(f\) 或 \(g\)。當 \(f\) 的定義域 (domain) 是 \(X\)、 對應域 (codomain) 是 \(Y\)，我們說 \(f\) 是一個從 \(X\) 映射到 \(Y\) 的函數：
\(f\) is a function from \(X\) into \(Y\)記作 \(f:X\to Y\)。 值域 (range) 是對應域的子集合，它不一定是整個對應域。 當 \(f\) 以 \(x\) 為自變數，說 \(f\) is a function of \(x\)， 記作 \(f(x)\)，讀作 f of x。
像 \(f(x)\) 這樣只有一個變數的函數稱為單變數函數：
a function in one variable 或者 a univariate function中學幾乎只討論單變函數，只在線性規劃 (linear programming) 稍微觸碰了雙變函數 \(f(x,y)\)：
functions in two variables 或者 bivariate functions
函數又稱為映射：map 或 mapping。
| [語音講解：function.mp3] |