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三角形內心與海龍

三角形內角 (interior angles) 的角平分線 (angle bisector: a line that bisects an angle) 交於一點，此交點──the intersection of the three internal angle bisectors──稱為三角形的內心 incenter，因為它是內切圓的圓心 (center of the inscribed circle or incircle)。類似地，內切圓半徑是 inradius: radius of the inscribed circle。但注意內切圓原本的定義是：三角形內最大的圓 (the largest circle contained in the triangle)。

可組成三角形的三邊長條件，稱為 triangle inequality theorem：任兩邊長大於第三邊；其實這裡有三個 inequalities。既然 SSS（或者說 side-side-side）是一個全等條件 (a congruence condition)，意思是：指定三個線段長可決定唯一的三角形（或者決定無此三角形）。所以，給定三邊長 \(a\), \(b\), \(c\)，也應該決定了三角形的面積。從三邊長計算三角形面積的公式，稱為海龍公式 (Heron formula)。

參照下圖（see the following figure），令 \(a\), \(b\), \(c\) 依序是頂點 (大寫字母 capitals) A, B, C 的對邊長： Let \(a\), \(b\), \(c\) be the (lengths of) opposite sides of vertices \(A\), \(B\), \(C\), respectively。（其中 side 既是「邊」也是「邊長」，所以不必說 lengths of；而 vertices 是 vertex 的複數。）則 the area of triangle ABC

\(\displaystyle|\triangle ABC| = {1\over2}ar + {1\over2}br + {1\over2}cr \), where \(r\) is the inradius

所以，如果令 \[ s={a+b+c\over 2}\] 也就是令 \(s\) 為三角形的半周長：half of the perimeter of the triangle。則 \(|\triangle ABC|=sr\)。海龍（Hero of Alexandria 或 Heron of Alexandria，大約西元 10-70）發現了 \[s^2r^2 = s(s-a)(s-b)(s-c)\] 注意 \(s-a\), \(s-b\), \(s-c\) 分別是頂點 A, B, C 到 incircle 的切線段長 (tangent segments)。所以海龍發現了 SSS 形式的三角形面積公式： \[ \text{area} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \] 當然，獲得面積之後，內切圓半徑就是 \[ \text{inradius} = {|\triangle ABC| \over s}\]

在海龍之後，秦九韶也發現等價的公式，稱為三斜求積術。

[語音講解：heron.mp3]

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shann@math.ncu.edu.tw