數學英文

無窮

有限是 finite，無限是 infinite，它們既是形容詞也是名詞， 但是無窮大或無項多這個名詞是 infinity（有一個汽車品牌 infiniti 也這樣唸）。 有限多是 finitely many，無窮多是 infinitely many。 微積分裡有一個古典的無窮小觀念：infinitesimal，它的副詞是 infinitesimally。 如今，無窮小觀念已經被 \(\epsilon\) (epsilon) 和 \(\delta\) (delta) 取代， 但是在 heuristic 的思考和了解方面，還是很有用的。

數列是 sequence，級數是 series，所以無窮數列和無窮級數是 infinite sequence 和 infinite series。 注意 series 是單複數同字，one series 和 many series 都是同一個字。

收斂的動詞是 converge，形容詞 convergent，名詞是 convergence。 相對的，發散就是 diverge、divergent 和 divergence。 當 a sequence converges to a real number，它就是 a convergent sequence， 否則它是 a divergent sequence，一個發散數列。 發散數列的極限 limit 可能 does not exist，或者 diverges to infinity or negative infinity；注意不要說 minus infinity。

\(n\to\infty\) 和 \(x\to0\) 的箭頭符號都讀 approaches，或者簡單說 to； 例如 n approaches infinity 或 x approaches zero，或者 n to infity、x to zero。 反而要提醒中文的對譯，不適合都翻譯成「趨近」或「逼近」。 \(x\to0\) 可以說 x 趨近於 0，但是 \(n\to\infty\) 應該說 n 趨向無窮大。 因為 infinity is not a real number，換句話說 infinity is not a point on the number line， 所以 infinity 不能被逼近。

以下 expression \[\lim_{n\to\infty} a_n\] 的正式說法是 the limit of sequence a n as／when n approaches infinity， 簡短的口語溝通是 limit n to infinity a n， 或者當 \(n\to\infty\) 是 default 條件的時候，就說 limit a n。 如果想要強調足標，\(a_n\) 也可以說 a sub n。

刪除無窮級數的後面無窮多項，只算前面有限多項，是 truncate an infinite series。 只算前 n 項的和是 the sum of the first n terms。 因此造成的誤差，稱為 truncation error。