數學英文

線性組合

所謂線性組合 linear combination 是指係數積 (scalar multiplication) 相加減的數學表達式 \(ax+by\)，其中 \(a\)、\(b\) 稱為的純量 (scalar)，通常就是實數或複數，而 \(x\)、\(y\) 可以是某些類型的數學物件，包括「元」（未知數或變數）、函數、向量等。以上形式可以推廣到任意有限多項。本篇專指向量的線性組合。

向量的特徵之一是它與「位置」無關。例如當 \[\boldsymbol{v}={2\choose-1}\] 不論始點何在，只要是「向右 2 單位，向下 1 單位」的位移 (displacement) 就是 \(\boldsymbol{v}\)。例如由 \(A(2,3)\)、\(B(4,2)\) 兩點形成的 \(\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{v}\smash{AB}}\,\) 就是「向右 2 單位，向下 1 單位」的位移，所以 \[\boldsymbol{v}=\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{v}\smash{AB}}\] 這相當於把 \({2\choose-1}\) 從標準位置 standard position，亦即從原點 \(O\) 開始的位置，平移到以 \(A\) 為始點的位置：在向量的世界裡，任何平移都還是同一個向量。其實這很正常啊，就好像任何人不管走到哪裡都應該還是同一個人。

使用坐標表示法時，向量的係數積和加法計算非常直覺，以平面向量為例： \[s{a\choose b}={sa\choose sb},\qquad {a\choose b}+{c\choose d}={a+c\choose b+d}\] 而 \(\boldsymbol{v}-\boldsymbol{w}\) 就是 \(\boldsymbol{v}+\bigl((-1)\cdot\boldsymbol{w}\bigr)\) 的意思。以上定義可以推廣到任意維度的向量──所謂 \(n\) 維向量 \(n\) dimensional vector 的意思是它有 \(n\) 個 components；其中 \(n\) 是正整數，而一維向量就是實數。

為了解向量線性組合的幾何意義，首先應了解向量加法的原理是「首尾相連」之後的「總位移」。例如 \(\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{v}\smash{OB}} +\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{v}\smash{AC}}= \overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{v}\smash{OC}}\)。其次，當我們需要做 \(\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{v}\smash{OA}} +\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{v}\smash{OB}}\,\) 時，必須先把 \(\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{v}\smash{OB}}\,\) 平移到 \(A\) 點，找一點 \(C\) 使得 \(\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{v}\smash{AC}}=\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{v}\smash{OB}}\,\) 然後做 \[\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{v}\smash{OA}} +\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{v}\smash{OB}}= \overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{v}\smash{OA}} +\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{v}\smash{AC}}= \overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{v}\smash{OC}}\] 最後，也是最多學生較慢領悟的，是向量都有三種意義：

1. 位置 position：以原點 \(O\) 為始點；
2. 位移 displacement：以任一點 \(A\) 為始點；
3. 點坐標 coordinates of a point：亦即位置向量的終點。

一般而言，\(A\)、\(B\) 兩點可以換成位置向量 \(\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{v}\smash{OA}}\) 和 \(\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{v}\smash{OB}}\)，做完 \(\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{v}\smash{OA}} +\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{v}\smash{OB}} =\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{v}\smash{OC}}\) 之後，再把 \(\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{v}\smash{OC}}\) 換成點 \(C\)，就好像向量成為點運算的載具 (vehicle)，把點 \(A\) 和點 \(B\) 運算成點 \(C\)。

在前述意義之下，非零向量 \(\boldsymbol{v}\) 的係數積集合 \[\{s\boldsymbol{v} \mid \boldsymbol{v}\not=\overset{\rightharpoonup}{0} \text{ and }0\leq s\leq1\}\] 是一個線段，兩端點為 \(\boldsymbol{v}\) 的始點（亦即原點）和終點，而 \[\{s\boldsymbol{v} \mid \boldsymbol{v}\not=\overset{\rightharpoonup}{0} \text{ and }s\in\mathbb{R}\}\] 則是一條通過原點且方向為 \(\boldsymbol{v}\) 的直線：

the line passing through the origin with direction \(\boldsymbol{v}\)

同理，非零向量 \(\boldsymbol{u}\) 和 \(\boldsymbol{v}\) 的線性組合結果 \[\{a\boldsymbol{u}+b\boldsymbol{v} \mid \boldsymbol{u}\not=\boldsymbol{v}\not=\overset{\rightharpoonup}{0} \text{ and }0\leq a,b\leq1\}\] 是一個平行四邊形，稱為「由 \(\boldsymbol{u}\)、\(\boldsymbol{v}\) 展成／決定的平行四邊形」：

the parallelogram spanned/determined by vectors \(\boldsymbol{u}\) and \(\boldsymbol{v}\).