數學英文

直線方程式

二元一次聯立方程 (system of first degree equations in two unknowns) 當中的個別等式，例如 $ax+by=c$，本來沒有單獨存在的意義， 直到笛卡耳 (Descartes) 發明了直角坐標，這種等式才有了自己的身分： 直線方程式 (line equation)。

將有序對 (ordered pair) $(x,y)$ 詮釋 (動詞 interpret, 名詞 interpretation) 為坐標平面上的一點， 則無窮多組滿足 (satisfy) 等式 $ax+by=c$ 的 $x$ 和 $y$ 對應坐標平面上無窮多點，它們聚集成一個圖形， 就稱為等式 $ax+by=c$ 的圖形 (graph of an equation)。 這種可以繪圖的等式稱為方程式，它的「元」稱為變數 (variables)， 例如 $ax+by=c$ 是二元一次方程式 (a first degree equation in two variables)， 其中 $a$, $b$ 稱為係數 (coefficients)，$c$ 稱為常數項 (constant term)。

根據等量公理，而且在代入法和消去法的程序 (procedure) 中已經實際體驗到： 只要 $a^{\prime }:b^{\prime }:c^{\prime }=a:b:c$ 而且 $a^{\prime }$, $b^{\prime }$, $c^{\prime }$ 不全為零 (not all zeros)， 則 $a^{\prime }x+b^{\prime }y=c^{\prime }$ 與 $ax+by=c$ 是相等的等式 (equivalent equations)，意思是說滿足它們的無窮多點是同樣的集合， 它們在坐標平面上聚集成同樣的圖形。 在這個意義之下，兩點 $(x_0,y_0)$、$(x_1,y_1)$ 可以決定唯一一個二元一次方程式。 因為它可以被兩點唯一決定 (determined uniquely by two points)， 所以二元一次方程式的圖形就可以定義為直線。

$x_0$ 可讀作 x sub zero 或 x zero，但是美國口語常說 x naught。 直線 line 的形容詞是 linear，而 linear 譯為「線性」或「線型」。

「數學是發現還是發明？」：

Is Mathematics Invented or Discovered?

水平是 horizontal，鉛直是 vertical；例如

$x$ 坐標是水平的，$y$ 坐標是鉛直的。
The $x$ axis is horizontal and the $y$ axis is vertical.

參閱右圖， 在一條既不水平也不鉛直的直線上任取兩點，可以決定一個由水平、鉛直邊組成的長方形， 使得直線是長方形的對角線。 當直線是通過長方形左下角的對角線，我們說長：寬的比值是直線的斜率 (slope) 或梯度 (gradient)； 當直線是通過長方形左上角的對角線，則規定長寬比的相反數是直線的斜率。

水平線的斜率是零，鉛直線沒有斜率。
The slope of a horizontal line is 0, and the vertical lines have no slopes.

$x$ 截距和 $y$ 截距分別是 $x$-intercept 和 $y$-intercept。 直線與 $x$ 軸正向 (the positive direction of the $x$ axis) 所夾的有向角 (directed angle) 稱為傾角 (angle of inclination)， 斜率等於傾角的正切：

The slope equals the tangent of the angle of inclination.