數學英文

直線方程式

二元一次聯立方程 (system of first degree equations in two unknowns) 當中的個別等式，例如 \(ax+by=c\)，本來沒有單獨存在的意義， 直到笛卡耳 (Descartes) 發明了直角坐標，這種等式才有了自己的身分： 直線方程式 (line equation)。

將有序對 (ordered pair) \((x,y)\) 詮釋 (動詞 interpret, 名詞 interpretation) 為坐標平面上的一點， 則無窮多組滿足 (satisfy) 等式 \(ax+by=c\) 的 \(x\) 和 \(y\) 對應坐標平面上無窮多點，它們聚集成一個圖形， 就稱為等式 \(ax+by=c\) 的圖形 (graph of an equation)。 這種可以繪圖的等式稱為方程式，它的「元」稱為變數 (variables)， 例如 \(ax+by=c\) 是二元一次方程式 (a first degree equation in two variables)， 其中 \(a\), \(b\) 稱為係數 (coefficients)，\(c\) 稱為常數項 (constant term)。

根據等量公理，而且在代入法和消去法的程序 (procedure) 中已經實際體驗到： 只要 \(a^\prime:b^\prime:c^\prime = a:b:c\) 而且 \(a^\prime\), \(b^\prime\), \(c^\prime\) 不全為零 (not all zeros)， 則 \(a^\prime x+b^\prime y=c^\prime\) 與 \(ax+by=c\) 是相等的等式 (equivalent equations)，意思是說滿足它們的無窮多點是同樣的集合， 它們在坐標平面上聚集成同樣的圖形。 在這個意義之下，兩點 \((x_0,y_0)\)、\((x_1,y_1)\) 可以決定唯一一個二元一次方程式。 因為它可以被兩點唯一決定 (determined uniquely by two points)， 所以二元一次方程式的圖形就可以定義為直線。

\(x_0\) 可讀作 x sub zero 或 x zero，但是美國口語常說 x naught。 直線 line 的形容詞是 linear，而 linear 譯為「線性」或「線型」。

「數學是發現還是發明？」：

Is Mathematics Invented or Discovered?

水平是 horizontal，鉛直是 vertical；例如

\(x\) 坐標是水平的，\(y\) 坐標是鉛直的。
The \(x\) axis is horizontal and the \(y\) axis is vertical.

參閱右圖， 在一條既不水平也不鉛直的直線上任取兩點，可以決定一個由水平、鉛直邊組成的長方形， 使得直線是長方形的對角線。 當直線是通過長方形左下角的對角線，我們說長：寬的比值是直線的斜率 (slope) 或梯度 (gradient)； 當直線是通過長方形左上角的對角線，則規定長寬比的相反數是直線的斜率。

水平線的斜率是零，鉛直線沒有斜率。
The slope of a horizontal line is 0, and the vertical lines have no slopes.

\(x\) 截距和 \(y\) 截距分別是 \(x\)-intercept 和 \(y\)-intercept。 直線與 \(x\) 軸正向 (the positive direction of the \(x\) axis) 所夾的有向角 (directed angle) 稱為傾角 (angle of inclination)， 斜率等於傾角的正切：

The slope equals the tangent of the angle of inclination.