數學英文

線型與反比函數

直線方程式的一種形式：斜截式 (gradient form) \(y=mx+k\)， 其中 \(m\) 為直線的斜率 (slope) 或梯度 (gradient)， 其實就是函數的表達。 這種（圖形為直線）函數特別稱為線型函數 (linear function)； 不要跟線性映射 (linear mapping) 搞混了。

如果排除水平線 (horizontal line)，也就是限定斜率 \(m\not=0\)， 則這種函數也稱為一次函數：

polynomial function of degree one

如果斜率 \(m=0\)，函數圖形是水平線，則函數 \(y=k\) 稱為常數函數 (constant function)。 如果確定 \(k\not=0\)，則它是零次函數 (polynomial function of degree zero)； 而 \(y=0\) 或 \(f(x)=0\) 就是零函數 (zero function)。

通過原點的直線標準式 (standard equations of lines passing through the origin) \[ax+by=0\] 可以看出直線通過原點和另一點 \((-b,a)\)。 排除鉛直線 (\(b\not=0\)) 之後，可以看出所有通過原點的直線都可以寫成以下形式： \[y=mx\] 而它就是正比關係 (direct proportion) 的函數，也是比例式 \(1:m=x:y\) 當中 \(x\) 與 \(y\) 的關係。

一般線型函數 \(y=mx+k\) 可以看成 \((y-k)=mx\)， 所以是 \(y=mx\) 向上平移 \(k\) 的直線， 可見 \(k\) 為直線的 \(y\) 截距 (\(y\)-intercept)。 如果斜率 \(m\not=0\)，直線 \(y=mx+k\) 也可以看成 \(\displaystyle y=m(x+{k\over m})\)， 它是 \(y=mx\) 向左平移 \(\displaystyle{k\over m}\)的直線， 也就是 \(x\)-intercept 為 \(\displaystyle-{k\over m}\)。

如果排除鉛直線 (vertical line) 與水平線，也就是限定 \(a\not=0\) 且 \(b\not=0\)， 則直線一般式 \[ax+by+c=0\] 總是同時可以改寫成 \(y\) 的函數或者 \(x\) 的函數： \[y=-{a\over b}x-{c\over b} \quad\text{或者}\quad x=-{b\over a}y-{c\over a}\]

相對於線型函數 \(y=mx\) 代表 \(x\) 和 \(y\) 的正比關係，\(x\) 的倒數 \(\displaystyle y={1\over x}\) 代表 \(x\) 和 \(y\) 的反比關係 (inverse proportion)。 反比函數英文說是「倒數函數」(the reciprocal function)， 不能把它簡稱為「倒函數」， 以免誤以為是微分之後的「導函數」(derivative function)。 中學課程沒有介紹反比函數，同學可以把它視為一種雙曲線方程式 \(xy=1\)， 這條雙曲線 (hyperbola) 就是反比函數 \(\displaystyle y={1\over x}\) 的圖形， 同學其實認識它。